Considere g definida por
g(x)=integral0^x^2 e^-4 t^2 d t
e determine g^prime prime a derivada segunda de g.

Passo 1

Temos a função definida por
g(x)=integral0^x^2 e^-4 t^2,d t
O conteúdo principal aqui é o Teorema Fundamental do Cálculo junto com a regra da cadeia e, em seguida, a regra do produto para obter a segunda derivada.

Passo 2

Para encontrar a primeira derivada, aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo na forma estendida (para limites dependentes de x):
g'(x)=e^-4,(x^2)^2cdotddx(x^2)
Como ddx(x^2)=2x, segue
$$
g’(x)=2x,e{-4x{4}}$$

Passo 3

Para achar a segunda derivada, derivamos g'(x)=2x,e^-4x^4 usando a regra do produto. Seja u(x)=2x e v(x)=e^-4x^4. Então
g''(x)=u'(x),v(x)+u(x),v'(x)
com
u'(x)=2
$$
v’(x)=e{-4x{4}}\cdot(-16x{3})=-16x{3}e{-4x{4}}$$

Passo 4

Substituindo em g''(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x) e fatorando e^-4x^4, obtemos:
g''(x)=2,e^-4x^4+2x,l(-16x^3e^-4x^4r)
g''(x)=2e^-4x^4-32x^4e^-4x^4
Fatorando ainda mais:
$$
g’’(x)=2\bigl(1-16x{4}\bigr)e{-4x^{4}}$$

Resposta

g''(x)=2,(1-16x^4),e^-4x^4

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