Calcule F(s) :
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s^{2}(s-1)}\right\}

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de Laplace
\mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\frac{1}{s^{2}(s-1)}\Bigr\}
ou seja, queremos encontrar f(t) tal que
\mathcal{L}\{f(t)\}=\frac{1}{s^{2}(s-1)}. O método mais direto é usar decomposição em frações parciais.

Passo 2

Assumimos
\frac{1}{s^{2}(s-1)} \;=\; \frac{A}{s} \;+\;\frac{B}{s^{2}}\;+\;\frac{C}{s-1}.
Multiplicando ambos os lados por s^{2}(s-1), obtemos
1 \;=\; A\,s\,(s-1)\;+\;B\,(s-1)\;+\;C\,s^{2}.

Passo 3

Expandindo o lado direito, temos
A\,(s^{2}-s)\;+\;B\,s\;-\;B\;+\;C\,s^{2} \;=\;(A+C)\,s^{2} \;+\;(-A+B)\,s\;-\;B.
Como isso deve valer 1 para todo s, igualamos coeficientes:
\begin{cases} A + C = 0,\\\\ -\,A + B = 0,\\\\ -\,B = 1. \end{cases}

Passo 4

Da terceira equação vem B=-1. Da segunda, -A-1=0 leva a A=-1. Da primeira, C=-A=1. Substituindo,
\frac{1}{s^{2}(s-1)} = -\frac{1}{s} \;-\;\frac{1}{s^{2}}\;+\;\frac{1}{s-1}.

Passo 5

Aplicamos agora a transformada inversa termo a termo, lembrando que
\mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\tfrac{1}{s}\Bigr\}=1,\quad \mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\tfrac{1}{s^{2}}\Bigr\}=t,\quad \mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\tfrac{1}{s-1}\Bigr\}=e^{t}.

Passo 6

Combinando os sinais, chegamos a
f(t)= -\,1 \;-\;t \;+\;e^{t} \;=\;e^{t}-t-1.

Resposta

f(t)=e^{t}-t-1.

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