Calcule F(s) :
\mathcal{L}\left\{e^{2 t} * \operatorname{sen} t\right\}

Passo 1

O enunciado nos pede para encontrar
F(s)=\mathcal{L}\{\,e^{2t} * \sin t\},
ou seja a transformada de Laplace da convolução entre e^{2t} e \sin t. Vamos usar o Teorema da Convolução no domínio de Laplace.

Passo 2

O Teorema da Convolução diz que, para funções f e g de tempo,
\mathcal{L}\{f * g\}(s) =\mathcal{L}\{f\}(s)\;\mathcal{L}\{g\}(s).
Aqui f(t)=e^{2t} e g(t)=\sin t.

Passo 3

Calculamos as transformadas individuais:
\displaystyle \mathcal{L}\{e^{2t}\}(s) =\int_{0}^{\infty}e^{-s t}e^{2t}\,dt =\int_{0}^{\infty}e^{-(s-2)t}\,dt =\frac{1}{s-2}, válida para \Re(s)>2.
\displaystyle \mathcal{L}\{\sin t\}(s) =\int_{0}^{\infty}e^{-s t}\sin t\,dt =\frac{1}{s^{2}+1}, válida para \Re(s)>0.

Passo 4

Usando o Teorema da Convolução, o produto das duas transformadas é
F(s)=\frac{1}{s-2}\;\cdot\;\frac{1}{s^{2}+1} =\frac{1}{(s-2)\,(s^{2}+1)},
válido para \Re(s)>2 (já que precisamos atender ambas regiões de convergência).

Resposta

F(s)=\frac{1}{(s-2)\,(s^{2}+1)},\quad \Re(s)>2.

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