Encontre a solução geral para a equação diferencial dada.
Especifique um intervalo no qual a solução geral é definida.
\cos x \frac{d y}{d x}+y \operatorname{sen} x=1
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da EDO
e também um intervalo em que essa solução seja válida. Reconhecemos uma equação diferencial linear de primeira ordem, que podemos resolver por fator integrante.
Passo 2
Dividimos tudo por
(assumindo
) para colocar na forma
Passo 3
Calculamos o fator integrante
Num intervalo em que
, basta tomar
.
Passo 4
Multiplicando a equação por
obtemos
Passo 5
Integramos ambos os lados:
Passo 6
Como usamos
e
para o fator integrante, a solução é válida em qualquer intervalo onde
não se anule, por exemplo
Resposta
A solução geral é
definida em qualquer intervalo em que
, por exemplo
.