Encontre a solução geral para a equação diferencial dada.
Especifique um intervalo no qual a solução geral é definida.
\cos x \frac{d y}{d x}+y \operatorname{sen} x=1

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da EDO
\cos x \frac{d y}{d x} + y \sin x = 1
e também um intervalo em que essa solução seja válida. Reconhecemos uma equação diferencial linear de primeira ordem, que podemos resolver por fator integrante.

Passo 2

Dividimos tudo por \cos x (assumindo \cos x\neq0) para colocar na forma
\frac{d y}{d x} + y \tan x = \operatorname{sec} x.

Passo 3

Calculamos o fator integrante
\mu(x)=e^{\int \tan x\,dx} =e^{-\ln\lvert\cos x\rvert} =\frac{1}{\lvert\cos x\rvert}.
Num intervalo em que \cos x>0, basta tomar \mu(x)=\operatorname{sec} x.

Passo 4

Multiplicando a equação por \operatorname{sec} x obtemos
\operatorname{sec} x\,\frac{d y}{d x}+y\,\operatorname{sec} x\tan x =\frac{d}{dx}\bigl(y\operatorname{sec} x\bigr) =\operatorname{sec}^2 x.

Passo 5

Integramos ambos os lados:
y\operatorname{sec} x=\int \operatorname{sec}^2 x\,dx=\tan x + C \quad\Longrightarrow\quad y=\cos x\,(\tan x + C) =\sin x + C\cos x.

Passo 6

Como usamos \cos x\neq0 e \cos x>0 para o fator integrante, a solução é válida em qualquer intervalo onde \cos x não se anule, por exemplo
\bigl(-\tfrac{\pi}{2},\,\tfrac{\pi}{2}\bigr).

Resposta

A solução geral é
y(x)=\sin x + C\cos x
definida em qualquer intervalo em que \cos x\neq0, por exemplo (-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}).

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