Calcule F(s) :
\mathcal{L}\left\{t^{2} \cos t\right\}

Passo 1

O enunciado pede calcular
F(s)=\mathcal{L}\{t^{2}\cos t\}
que é a transformada de Laplace do produto t^{2} por \cos t. Para resolver vamos usar a transformada de \cos t e a propriedade de diferenciação no domínio de s.

Passo 2

Recordando que
\mathcal{L}\{\cos t\}(s)=\frac{s}{s^{2}+1}
e que, em geral,
\mathcal{L}\{t^{2}f(t)\}(s)=\frac{d^{2}}{ds^{2}}\bigl[\mathcal{L}\{f(t)\}(s)\bigr],
podemos definir
G(s)=\frac{s}{s^{2}+1}
de modo que F(s)=G''(s).

Passo 3

Calculando a primeira derivada de G:
G'(s) =\frac{(s^{2}+1)\cdot1 - s\cdot2s}{(s^{2}+1)^{2}} =\frac{1 - s^{2}}{(s^{2}+1)^{2}}.

Passo 4

Agora derivamos novamente para obter G''(s). Usando a regra do quociente:
G''(s) =\frac{-2s\,(s^{2}+1)^{2} \;-\;(1 - s^{2})\cdot4s\,(s^{2}+1)}{(s^{2}+1)^{4}} =\frac{-2s(s^{2}+1)(3 - s^{2})}{(s^{2}+1)^{4}} =\frac{2s^{3}-6s}{(s^{2}+1)^{3}}.

Resposta

F(s)=\frac{2s^{3}-6s}{(s^{2}+1)^{3}}.

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