Calcule f(t) onde:
L^{-1}\left\{\frac{1}{s^{2}+s-20}\right\}

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de Laplace de
\frac{1}{s^{2}+s-20}.
O conteúdo aqui é decomposição em frações parciais e uso da tabela: \mathcal{L}^{-1}\bigl\{\tfrac{1}{s-a}\bigr\}=e^{at}.

Passo 2

Primeiro fatoramos o denominador:
s^{2}+s-20 = (s-4)(s+5).

Passo 3

Fazemos a decomposição em frações parciais:
\frac{1}{(s-4)(s+5)} = \frac{A}{s-4} + \frac{B}{s+5}.
Multiplicando ambos os lados por (s-4)(s+5),
1 = A(s+5) + B(s-4).
Para encontrar A e B, basta avaliar em s=4 e s=-5:
  • Em s=4: 1 = A(4+5) = 9A, logo A = \tfrac{1}{9}.
  • Em s=-5: 1 = B(-5-4) = -9B, logo B = -\tfrac{1}{9}.

Passo 4

Agora aplicamos a transformada inversa em cada termo sabendo que \mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{1}{s-a}\}=e^{at}. Assim,
f(t) = \mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\frac{1/9}{s-4} - \frac{1/9}{s+5}\Bigr\} = \frac{1}{9}e^{4t} - \frac{1}{9}e^{-5t}.

Resposta

f(t) = \frac{1}{9}\bigl(e^{4t} - e^{-5t}\bigr).

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