Calcule f(t) onde:
L^{-1}\left\{\left(\frac{2}{s}-\frac{1}{s^{3}}\right)^{2}\right\}

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de Laplace
L^{-1}\Bigl\{\bigl(\tfrac{2}{s}-\tfrac{1}{s^{3}}\bigr)^{2}\Bigr\}.
O conteúdo utilizado será expansão algébrica e a propriedade de linearidade do operador L^{-1}, bem como a fórmula
L^{-1}\bigl\{\tfrac{1}{s^{m}}\bigr\} = \frac{t^{m-1}}{(m-1)!}.

Passo 2

Expandimos o quadrado:
\bigl(\tfrac{2}{s}-\tfrac{1}{s^{3}}\bigr)^{2} = \frac{4}{s^{2}} - \frac{4}{s^{4}} + \frac{1}{s^{6}}.

Passo 3

Aplicamos L^{-1} termo a termo usando
L^{-1}\bigl\{\tfrac{1}{s^{m}}\bigr\} = \frac{t^{m-1}}{(m-1)!}.
Assim:
L^{-1}\Bigl\{\frac{4}{s^{2}}\Bigr\} = 4\,\frac{t^{1}}{1!} = 4t, \quad L^{-1}\Bigl\{\frac{-4}{s^{4}}\Bigr\} = -4\,\frac{t^{3}}{3!}, \quad L^{-1}\Bigl\{\frac{1}{s^{6}}\Bigr\} = \frac{t^{5}}{5!}.

Passo 4

Simplificando os fatoriais:
-4\,\frac{t^{3}}{3!} = -4\,\frac{t^{3}}{6} = -\frac{2}{3}t^{3}, \qquad \frac{t^{5}}{5!} = \frac{t^{5}}{120}.
Somando tudo, obtemos
f(t) = 4t - \tfrac{2}{3}t^{3} + \tfrac{1}{120}t^{5}.

Resposta

f(t) = 4t \;-\;\frac{2}{3}t^{3}\;+\;\frac{1}{120}t^{5}.

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