Calcule L\{f(t)\}\) onde: \(f(t)= \begin{cases}\\\ 0, & 0 \leq t<\pi / 2 \\\\\ \cos (t), & t \geq \pi / 2\end{cases}

Passo 1

O enunciado define a função por partes
f(t)= \begin{cases} 0,&0\le t<\pi/2,\\\ \cos(t),&t\ge \pi/2, \end{cases}
e pede a transformada de Laplace L\{f(t)\}.
Para resolver, vamos usar a função degrau unitário u(t-a) e a propriedade de deslocamento no tempo da transformada de Laplace.

Passo 2

Expressamos f(t) em termos de u(t-\pi/2). Como f(t)=0 para t<\pi/2 e f(t)=\cos(t) para t\ge\pi/2, temos
f(t)=\cos(t)\,u\bigl(t-\tfrac\pi2\bigr).

Passo 3

Para aplicar o deslocamento, escrevemos \cos(t) como função de (t-\tfrac\pi2). Usamos a identidade
\cos(t)=\cos\bigl((t-\tfrac\pi2)+\tfrac\pi2\bigr) =\cos\bigl(t-\tfrac\pi2\bigr)\cos\tfrac\pi2 -\sin\bigl(t-\tfrac\pi2\bigr)\sin\tfrac\pi2.
Como \cos\tfrac\pi2=0 e \sin\tfrac\pi2=1, isso fica
\cos(t)=-\,\sin\bigl(t-\tfrac\pi2\bigr).
Então
f(t)=-\,\sin\bigl(t-\tfrac\pi2\bigr)\,u\bigl(t-\tfrac\pi2\bigr).

Passo 4

Agora usamos as transformadas padrão com deslocamento:
L\{u(t-a)\sin(t-a)\}=e^{-as}\,\frac{1}{s^2+1}, \quad L\{u(t-a)\cos(t-a)\}=e^{-as}\,\frac{s}{s^2+1}.
No nosso caso, a=\tfrac\pi2 e aparece apenas a parte com \sin(t-a). Logo,
L\{f(t)\} =-\,L\bigl\{\sin(t-\tfrac\pi2)\,u(t-\tfrac\pi2)\bigr\} =-\,e^{-\tfrac\pi2 s}\,\frac{1}{s^2+1}.

Resposta

L\{f(t)\}=-\frac{e^{-\tfrac{\pi}{2}s}}{s^2+1}.

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