Calcule f(t) times g(t), onde f(t)=sen t i+cos t j+t k e g(t)=sen t i+cos t k+k.

Passo 1

Vamos lá! O enunciado pede para calcular o produto vetorial de f(t) e g(t). O conteúdo aqui é produto vetorial (cross product) de vetores em R^3. Para resolver, a gente vai usar a definição via determinante 3×3.

Passo 2

Primeiro, extraímos as componentes de f(t) e g(t):
f(t)=sen t
ome em português é produto vetorial ou produto externo. Ele é usado para calcular a área do paralelogramo formado por dois vetores no espaço tridimensional. Para calcular o produto vetorial de dois vetores, usamos a seguinte fórmula:
Sejam os vetores e , o produto vetorial é dado por:
Onde:
  • são as componentes do vetor .
  • são as componentes do vetor .
O resultado do produto vetorial é um novo vetor perpendicular ao plano que contém os vetores e .

Passo 3

O produto vetorial também pode ser expresso em termos de um determinante:
i & j & k a1 & a2 & a3 b1 & b2 & b3
Onde são os vetores unitários nas direções x, y e z, respectivamente. Para resolver esse determinante, podemos expandir ao longo da primeira linha:
Calculando o produto vetorial de f(t) e g(t):
f(t)=sen(t)i+cos(t)j+tk
g(t)=sen(t)i+0j+(cos(t)+1)k
Usando a definição do produto vetorial:
f(t)×g(t) = (cos(t)(cos(t)+1)−t⋅0)i −(sen(t)(cos(t)+1)−t⋅sen(t))j +(sen(t)⋅0−cos(t)sen(t))k
Simplificando:
f(t)×g(t) = (cos²(t)+cos(t))i −(sen(t)cos(t)+sen(t)−tsen(t))j −(cos(t)sen(t))k

Passo 4

Portanto, o produto vetorial de f(t) e g(t) é:
f(t)×g(t) = (cos²(t)+cos(t))i −(sen(t)cos(t)+sen(t)−tsen(t))j −(cos(t)sen(t))k

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