Examine se a EDO é exata ou não exata e determine sua solução
(2 x) d x+(2 y) d y=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente verificar se a Equação Diferencial Ordinária (EDO) (2x) , dx + (2y) , dy = 0 é exata ou não exata e, se for exata, encontrar a solução dela. Vamos trabalhar com cálculo diferencial, especificamente com equações diferenciais exatas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma EDO exata. Uma equação na forma M(x, y) , dx + N(x, y) , dy = 0 é chamada de exata se existir uma função F(x, y) tal que dF = M , dx + N , dy. Isso significa que F(x, y) é uma solução potencial para a equação.

Passo 3

Para verificar se a EDO dada é exata, precisamos calcular as derivadas parciais de M em relação a y e de N em relação a x e ver se elas são iguais. Ou seja, a condição para exatidão é:
partial Mpartial y = partial Npartial x

Passo 4

No nosso caso, temos:
M(x, y) = 2x e N(x, y) = 2y
Calculando as derivadas parciais:
partial Mpartial y = partialpartial y(2x) = 0
partial Npartial x = partialpartial x(2y) = 0

Passo 5

Como partial Mpartial y = partial Npartial x (ambos são iguais a 0), a EDO é exata. Agora, vamos encontrar a solução geral dessa equação.

Passo 6

Para encontrar a solução, precisamos determinar uma função F(x, y) tal que:
partial Fpartial x = M(x, y) = 2x
Integrando M em relação a x:
F(x, y) = integral 2x , dx = x^2 + h(y)
onde h(y) é uma função de y que vamos determinar.

Passo 7

Agora, derivamos F(x, y) em relação a y e igualamos a N(x, y):
partial Fpartial y = partialpartial y(x^2 + h(y)) = h'(y) = 2y
Integrando h'(y) em relação a y:
h(y) = integral 2y , dy = y^2 + C
onde C é uma constante de integração.

Passo 8

Portanto, a função potencial F(x, y) é:
F(x, y) = x^2 + y^2 + C
Como uma solução implícita da EDO, podemos escrever:
x^2 + y^2 = C

Resposta

A solução geral da EDO é x^2 + y^2 = C, onde C é uma constante.

Exercícios relacionados