Examine se a EDO é exata ou não exata e determine sua solução
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente verificar se a Equação Diferencial Ordinária (EDO)
é exata ou não exata e, se for exata, encontrar a solução dela. Vamos trabalhar com cálculo diferencial, especificamente com equações diferenciais exatas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma EDO exata. Uma equação na forma
é chamada de exata se existir uma função
tal que
. Isso significa que
é uma solução potencial para a equação.
Passo 3
Para verificar se a EDO dada é exata, precisamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e de
em relação a
e ver se elas são iguais. Ou seja, a condição para exatidão é:
Passo 4
No nosso caso, temos:
Calculando as derivadas parciais:
Passo 5
Como
(ambos são iguais a 0), a EDO é exata. Agora, vamos encontrar a solução geral dessa equação.
Passo 6
Para encontrar a solução, precisamos determinar uma função
tal que:
Integrando
em relação a
:
onde
é uma função de
que vamos determinar.
Passo 7
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Integrando
em relação a
:
onde
é uma constante de integração.
Passo 8
Portanto, a função potencial
é:
Como uma solução implícita da EDO, podemos escrever:
Resposta
A solução geral da EDO é
, onde
é uma constante.