integral sen(x) e^x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral sin(x) e^x , dx. Aqui estamos trabalhando com Cálculo Integral, mais especificamente com integração por partes. Para resolver isso, vamos precisar aplicar a fórmula de integração por partes duas vezes.

Passo 2

Primeiro, lembrando como funciona a integração por partes: a fórmula é
integral u , dv = uv - integral v , du
Vamos escolher quais partes serão u e dv. Aqui, vou escolher:
u = sin(x) e dv = e^x , dx
Agora, precisamos encontrar du e v.
du = cos(x) , dx e v = integral e^x , dx = e^x

Passo 3

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral sin(x) e^x , dx = sin(x) e^x - integral e^x cos(x) , dx
Agora, temos uma nova integral para resolver: integral e^x cos(x) , dx. Vamos aplicar integração por partes novamente.

Passo 4

Novamente, usando a fórmula de integração por partes, escolhemos:
u = cos(x) e dv = e^x , dx
Calculando du e v:
du = -sin(x) , dx e v = integral e^x , dx = e^x

Passo 5

Aplicando a fórmula:
integral e^x cos(x) , dx = cos(x) e^x - integral e^x (-sin(x)) , dx = cos(x) e^x + integral e^x sin(x) , dx
Agora, vamos substituir de volta na equação anterior.

Passo 6

Voltando à expressão original:
integral sin(x) e^x , dx = sin(x) e^x - [ cos(x) e^x + integral e^x sin(x) , dx ]
Simplificando:
integral sin(x) e^x , dx = sin(x) e^x - cos(x) e^x - integral e^x sin(x) , dx

Passo 7

Observamos que a integral integral e^x sin(x) , dx aparece dos vezes. Vamos chamar essa integral de I:
I = integral e^x sin(x) , dx
Então, a equação fica:
I = sin(x) e^x - cos(x) e^x - I

Passo 8

Agora, somamos I de ambos os lados para resolver:
2I = sin(x) e^x - cos(x) e^x
Dividindo por 2:
I = e^x2 ( sin(x) - cos(x) ) + C

Resposta

integral sin(x) e^x , dx = e^x2 ( sin(x) - cos(x) ) + C

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