Determine a transformada de Fourier dos seguintes sinais:
Passo 1
O enunciado pede a transformada de Fourier do sinal
x(t)=tri(t/T)·rect(t/T+1/2)·e^{j2π(1/(2T))t}.
O conteúdo envolve definição de tri(x) (pulso triangular de base 2) e rect(x) (pulso retangular de largura 1) e o efeito de modulação em frequência. Para resolver, vamos:
x(t)=tri(t/T)·rect(t/T+1/2)·e^{j2π(1/(2T))t}.
O conteúdo envolve definição de tri(x) (pulso triangular de base 2) e rect(x) (pulso retangular de largura 1) e o efeito de modulação em frequência. Para resolver, vamos:
- usar que tri(t/T)≠0 só em t∈[−T,T] e rect(t/T+1/2)≠0 só em t∈[−T,0];
- encontrar expressão simples de x(t) nesse intervalo;
- calcular X(f)=∫x(t)e^{−j2πft}dt.
Passo 2
Dentro de [−T,0], temos |t|=−t, logo
tri(t/T)=1−|t|/T=1+t/T.
E rect(t/T+1/2)=1. Portanto
x(t)=(1+t/T)e^{j2πf₀t},
com f₀=1/(2T) e suporte t∈[−T,0].
tri(t/T)=1−|t|/T=1+t/T.
E rect(t/T+1/2)=1. Portanto
x(t)=(1+t/T)e^{j2πf₀t},
com f₀=1/(2T) e suporte t∈[−T,0].
Passo 3
Escrevemos a transformada
X(f)=∫_{−T}0(1+t/T)e{j2πf₀t}e^{−j2πft}dt
=∫_{−T}0(1+t/T)e{−j2πF t}dt,
onde F=f−f₀.
X(f)=∫_{−T}0(1+t/T)e{j2πf₀t}e^{−j2πft}dt
=∫_{−T}0(1+t/T)e{−j2πF t}dt,
onde F=f−f₀.
Passo 4
Separamos em duas integrais:
I₁=∫_{−T}0e{−j2πF t}dt,
I₂=(1/T)∫_{−T}^0t e^{−j2πF t}dt.
I₁=∫_{−T}0e{−j2πF t}dt,
I₂=(1/T)∫_{−T}^0t e^{−j2πF t}dt.
Passo 5
Cálculo de I₁:
Passo 6
Cálculo de I₂: por partes, com u=t, dv=e^{−j2πF t}dt:
Aí
Passo 7
Avaliação de I₂ em t=0 e t=−T e simplificação leva a
(veja passo a passo nas contas).
Passo 8
Somando I₁+I₂, obtemos a forma fechada
onde F=f−1/(2T).
Esse é o resultado final em função de f.
Esse é o resultado final em função de f.
Passo 9
A expressão acima é a transformada de Fourier procurada. Ela mostra claramente o efeito da janela triangular truncada em [−T,0] e da modulação por e^{j2πt/(2T)}.
Passo 10
Final answer: veja abaixo.