Determine a transformada de Fourier dos seguintes sinais:
x(t)=tri(tT) cdot rect(tT+T2) cdot e^j 2 pi 12 T t

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Fourier do sinal
x(t)=tri(t/T)·rect(t/T+1/2)·e^{j2π(1/(2T))t}.
O conteúdo envolve definição de tri(x) (pulso triangular de base 2) e rect(x) (pulso retangular de largura 1) e o efeito de modulação em frequência. Para resolver, vamos:
  • usar que tri(t/T)≠0 só em t∈[−T,T] e rect(t/T+1/2)≠0 só em t∈[−T,0];
  • encontrar expressão simples de x(t) nesse intervalo;
  • calcular X(f)=∫x(t)e^{−j2πft}dt.

Passo 2

Dentro de [−T,0], temos |t|=−t, logo
tri(t/T)=1−|t|/T=1+t/T.
E rect(t/T+1/2)=1. Portanto
x(t)=(1+t/T)e^{j2πf₀t},
com f₀=1/(2T) e suporte t∈[−T,0].

Passo 3

Escrevemos a transformada
X(f)=∫_{−T}0(1+t/T)e{j2πf₀t}e^{−j2πft}dt
=∫_{−T}0(1+t/T)e{−j2πF t}dt,
onde F=f−f₀.

Passo 4

Separamos em duas integrais:
I₁=∫_{−T}0e{−j2πF t}dt,
I₂=(1/T)∫_{−T}^0t e^{−j2πF t}dt.

Passo 5

Cálculo de I₁:
I₁=integral−T^0e^−j2πFtdt=l[e^−j2πFt−j2πFr]−T^0 =1−e^j2πFTj2πF

Passo 6

Cálculo de I₂: por partes, com u=t, dv=e^{−j2πF t}dt:
integral te^−j2πFtdt=-te^−j2πFtj2πF-e^−j2πFt(j2πF)^2
I₂=1Tl[ -te^−j2πFtj2πF-e^−j2πFt(j2πF)^2r]−T^0

Passo 7

Avaliação de I₂ em t=0 e t=−T e simplificação leva a
I₂=-e^j2πFTj2πF+e^j2πFT-1T t(j2πF)^2
(veja passo a passo nas contas).

Passo 8

Somando I₁+I₂, obtemos a forma fechada
X(f)=1−2e^j2πFTj2πF+e^j2πFT-1T(j2πF)^2,
onde F=f−1/(2T).
Esse é o resultado final em função de f.

Passo 9

A expressão acima é a transformada de Fourier procurada. Ela mostra claramente o efeito da janela triangular truncada em [−T,0] e da modulação por e^{j2πt/(2T)}.

Passo 10

Final answer: veja abaixo.

Resposta

X(f)=1-2e^j2pi(f-12T)Tj2pi(f-12T)+e^j2pi(f-12T)T-1Tl(j2pi(f-12T)r)^2

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