Calcule f(x).
(b) f(x)=5^{x}

Passo 1

O enunciado dá a função \,f(x)=5^{x}\, e pede para "Calcule f(x)". As informações relevantes que temos são:
f(x)=5^{x}.
Não há outras informações no enunciado.

Passo 2

Interpreto que o objetivo prático da questão é obter a derivada da função exponencial, ou seja calcular f'(x), porque a função f(x) já está explícita. Vou então calcular a derivada de \,f(x)=5^{x}\,. Essa é uma escolha natural quando o enunciado pede “calcule” uma função dada em exercícios de Cálculo — normalmente querem a taxa de variação (derivada).

Passo 3

Conceito importante (aula rapidinha): a derivada de uma função exponencial de base positiva a (com a>0) é dada por
\frac{d}{dx}a^{x}=a^{x}\ln a.
Por que isso? Uma maneira limpa de ver é reescrever a^{x} usando a exponencial natural e^{x}, usando a identidade
a^{x}=e^{x\ln a},
onde \ln a é o logaritmo natural de a (uma constante). Em seguida aplicamos a regra da cadeia para derivar e^{u(x)}.

Passo 4

Regra da cadeia e derivada da exponencial: se \,u(x)\, é uma função diferenciável, então
\frac{d}{dx}e^{u(x)}=e^{u(x)}\cdot u'(x).
No nosso caso vamos colocar u(x)=x\ln 5. Note que \ln 5 é constante, então u'(x)=\ln 5.

Passo 5

Aplicando os passos anteriores à nossa função:
f(x)=5^{x}=e^{x\ln 5}.
Logo, pela regra da cadeia,
f'(x)=\frac{d}{dx}e^{x\ln 5}=e^{x\ln 5}\cdot \ln 5.
Voltando à base 5, isto é
f'(x)=5^{x}\ln 5.

Passo 6

Exemplos rápidos para fixar (só para ficar mais confortável na hora da prova):
f'(0)=5^{0}\ln 5=1\cdot \ln 5=\ln 5,
f'(1)=5^{1}\ln 5=5\ln 5.
Assim fica fácil de calcular valores da derivada em pontos específicos.

Resposta

f'(x)=5^{x}\ln 5

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