Calcule
.
(a)
(a)
Passo 1
O enunciado diz: “Calcule
.” A informação fornecida é a função
Não há mais dados. O pedido está um pouco vago (apenas "Calcule
"), então listei o que temos: a expressão de
está dada e precisamos “calcular” algo relacionado a ela.
Passo 2
Vou interpretar o pedido como o que aparece com mais frequência em exercícios do tipo: calcular a derivada
de uma função exponencial. Se o seu professor queria outra coisa (por exemplo, avaliar
num ponto específico), diga depois e eu faço. Mas a derivada de
é um item clássico e útil para a prova, então vou calcular isso passo a passo.
Passo 3
Primeiro um truque muito útil: escrever exponenciais de base qualquer em termos da base
(a exponencial natural). Para qualquer base
temos a identidade
onde
é o logaritmo natural de
. Aqui, para
,
Explicar isso:
é o número tal que
. Então
. Esse passo é só reescrever a função numa forma que facilita derivar.
Passo 4
Agora usamos a regra da derivada da exponencial composta (regra da cadeia). A regra da cadeia diz: se
é uma função diferenciável, então
Aqui cada peça significa:
-
é a função interna (no nosso caso ); -
é a derivada de em relação a ; - e multiplicamos
por .
Passo 5
Aplique isso ao nosso
. Calcule
:
porque
é apenas uma constante multiplicativa e a derivada de
é
.
Passo 6
Usando a regra da cadeia:
Voltando à base
(porque
), obtemos
Isto significa: a derivada de
é a própria
multiplicada por a constante
.
Passo 7
Pequenos exemplos para fixar (úteis na prova):
- Em
:
- Em
:
Esses exemplos mostram como aplicar a fórmula sem dificuldade.