Calcule f(x).
(a) f(x)=2^{x}

Passo 1

O enunciado diz: “Calcule f(x).” A informação fornecida é a função
f(x)=2^{x}.
Não há mais dados. O pedido está um pouco vago (apenas "Calcule f(x)"), então listei o que temos: a expressão de f(x) está dada e precisamos “calcular” algo relacionado a ela.

Passo 2

Vou interpretar o pedido como o que aparece com mais frequência em exercícios do tipo: calcular a derivada f'(x) de uma função exponencial. Se o seu professor queria outra coisa (por exemplo, avaliar f(x) num ponto específico), diga depois e eu faço. Mas a derivada de f(x)=2^{x} é um item clássico e útil para a prova, então vou calcular isso passo a passo.

Passo 3

Primeiro um truque muito útil: escrever exponenciais de base qualquer em termos da base e (a exponencial natural). Para qualquer base a>0 temos a identidade
a^{x}=e^{x\ln a},
onde \ln a é o logaritmo natural de a. Aqui, para a=2,
2^{x}=e^{x\ln 2}.
Explicar isso: \ln 2 é o número tal que e^{\ln 2}=2. Então e^{x\ln 2}=(e^{\ln 2})^{x}=2^{x}. Esse passo é só reescrever a função numa forma que facilita derivar.

Passo 4

Agora usamos a regra da derivada da exponencial composta (regra da cadeia). A regra da cadeia diz: se g(x) é uma função diferenciável, então
\frac{d}{dx}e^{g(x)}=e^{g(x)}\cdot g'(x).
Aqui cada peça significa:
  • g(x) é a função interna (no nosso caso g(x)=x\ln 2);
  • g'(x) é a derivada de g em relação a x;
  • e multiplicamos e^{g(x)} por g'(x).

Passo 5

Aplique isso ao nosso g(x)=x\ln 2. Calcule g'(x):
g'(x)=\frac{d}{dx}(x\ln 2)=\ln 2,
porque \ln 2 é apenas uma constante multiplicativa e a derivada de x é 1.

Passo 6

Usando a regra da cadeia:
\frac{d}{dx}2^{x}=\frac{d}{dx}e^{x\ln 2}=e^{x\ln 2}\cdot \ln 2.
Voltando à base 2 (porque e^{x\ln 2}=2^{x}), obtemos
\frac{d}{dx}2^{x}=2^{x}\ln 2.
Isto significa: a derivada de 2^{x} é a própria 2^{x} multiplicada por a constante \ln 2.

Passo 7

Pequenos exemplos para fixar (úteis na prova):
  • Em x=0:
f'(0)=2^{0}\ln 2=1\cdot \ln 2=\ln 2.
  • Em x=1:
f'(1)=2^{1}\ln 2=2\ln 2.
Esses exemplos mostram como aplicar a fórmula sem dificuldade.

Resposta

f'(x)=2^{x}\ln 2

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