Calcule f(x), pela definição.
f(x)=3 x-1

Passo 1

O enunciado nos dá a função f(x)=3x-1 e pede: “Calcule f(x), pela definição.”
Informações fornecidas:
  • A função é \,f(x)=3x-1.

Passo 2

Interpretação do pedido e escolha do método. Como o enunciado diz “pela definição”, o que normalmente se pede nesse contexto é calcular a derivada de f pela definição de derivada (ou seja, f'(x) usando o limite do quociente incremental). Vou seguir essa interpretação porque é o uso padrão da expressão “pela definição” quando se trabalha com funções. Se a intenção fosse outra (por exemplo reescrever a própria f(x)) a resposta seria trivial, mas aqui vamos calcular a derivada pela definição.

Passo 3

Apresentar a definição de derivada e explicar cada símbolo. A definição de derivada de f em um ponto x é
f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.
Explicando os símbolos:
  • f'(x) é a derivada de f no ponto x (a inclinação da reta tangente à curva em x).
  • h é um incremento pequeno na variável x; a expressão considera o quociente entre a variação da função e a variação da entrada quando h tende a zero.
  • O limite \lim_{h\to 0} significa que avaliamos o comportamento do quociente quando h fica cada vez menor, aproximando-se de 0.

Passo 4

Calcular f(x+h). Substituir x+h na função dada:
f(x+h)=3(x+h)-1.
Desenvolvendo o produto:
f(x+h)=3x+3h-1.

Passo 5

Calcular a diferença f(x+h)-f(x). Usar f(x)=3x-1:
f(x+h)-f(x)=(3x+3h-1)-(3x-1).
Fazendo as subtrações termo a termo:
f(x+h)-f(x)=3x+3h-1-3x+1=3h.

Passo 6

Formar o quociente incremental e simplificá-lo. Para h\neq 0,
\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{3h}{h}.
Como h\neq 0 podemos simplificar h em numerador e denominador:
\frac{3h}{h}=3.
Portanto, para todo h\neq 0 o quociente vale 3 (é uma constante independente de h).

Passo 7

Aplicar o limite quando h\to 0. Já que o quociente incremental é a constante 3 para todos os h\neq 0, o limite é simplesmente essa constante:
f'(x)=\lim_{h\to 0}3=3.
Explicação: o limite de uma função constante quando a variável tende a qualquer valor é a própria constante.

Passo 8

Interpretação final e observação prática. A derivada de uma função afim \,f(x)=ax+b é constante e igual ao coeficiente angular a. Aqui a=3, então a inclinação da reta (derivada) é 3. Exemplo extra: se g(x)=4x-7 então g'(x)=4 pela mesma razão.

Resposta

f'(x)=3

Exercícios relacionados