Calcule
, pela definição.
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede: “Calcule
, pela definição.”
Informações fornecidas:
Informações fornecidas:
- A função é
.
Passo 2
Interpretação do pedido e escolha do método. Como o enunciado diz “pela definição”, o que normalmente se pede nesse contexto é calcular a derivada de
pela definição de derivada (ou seja,
usando o limite do quociente incremental). Vou seguir essa interpretação porque é o uso padrão da expressão “pela definição” quando se trabalha com funções. Se a intenção fosse outra (por exemplo reescrever a própria
) a resposta seria trivial, mas aqui vamos calcular a derivada pela definição.
Passo 3
Apresentar a definição de derivada e explicar cada símbolo. A definição de derivada de
em um ponto
é
Explicando os símbolos:
-
é a derivada de no ponto (a inclinação da reta tangente à curva em ). -
é um incremento pequeno na variável ; a expressão considera o quociente entre a variação da função e a variação da entrada quando tende a zero. - O limite
significa que avaliamos o comportamento do quociente quando fica cada vez menor, aproximando-se de .
Passo 4
Calcular
. Substituir
na função dada:
Desenvolvendo o produto:
Passo 5
Calcular a diferença
. Usar
:
Fazendo as subtrações termo a termo:
Passo 6
Formar o quociente incremental e simplificá-lo. Para
,
Como
podemos simplificar
em numerador e denominador:
Portanto, para todo
o quociente vale
(é uma constante independente de
).
Passo 7
Aplicar o limite quando
. Já que o quociente incremental é a constante
para todos os
, o limite é simplesmente essa constante:
Explicação: o limite de uma função constante quando a variável tende a qualquer valor é a própria constante.
Passo 8
Interpretação final e observação prática. A derivada de uma função afim
é constante e igual ao coeficiente angular
. Aqui
, então a inclinação da reta (derivada) é
. Exemplo extra: se
então
pela mesma razão.