Calcule f(x), pela definição.
f(x)=\frac{x}{x+1}

Passo 1

O enunciado pede calcular, pela definição, a derivada de f em função de x.
Dado: f(x)=\dfrac{x}{x+1}.
Observação imediata: a função não está definida em x=-1 (denominador zero), logo quaisquer resultados só fazem sentido para x\neq -1.

Passo 2

A definição de derivada que vamos usar é a seguinte:
f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.
Explicando devagar: h é um incremento pequeno em x. A expressão \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} é a taxa média de variação de f em um intervalo de largura h. A derivada é o limite dessa taxa média quando h vai a zero — isto é, a taxa instantânea. Note que, ao manipular a expressão, podemos dividir por h porque na definição tomamos h\neq0 e só depois fazemos o limite h\to0.

Passo 3

Calcular f(x+h):
f(x+h)=\frac{x+h}{x+h+1}.

Passo 4

Formar a diferença f(x+h)-f(x) e colocar em denominação comum:
f(x+h)-f(x)=\frac{x+h}{x+1+h}-\frac{x}{x+1} =\frac{(x+h)(x+1)-x(x+1+h)}{(x+1+h)(x+1)}.
Agora expandir os produtos do numerador, passo a passo:
(x+h)(x+1)=x^2+x+hx+h,
x(x+1+h)=x^2+x+xh.
Subtraindo:
(x+h)(x+1)-x(x+1+h)=(x^2+x+hx+h)-(x^2+x+xh)=h.
Logo a diferença simplifica muito bem:
f(x+h)-f(x)=\frac{h}{(x+1+h)(x+1)}.

Passo 5

Agora a diferença dividida por h:
\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{1}{(x+1+h)(x+1)},
pois cancelamos um fator h (lembrando que esse cancelamento é legítimo porque no quociente do passo anterior consideramos h\neq0).

Passo 6

Fazer o limite quando h\to0:
f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{1}{(x+1+h)(x+1)}=\frac{1}{(x+1)^2},
pela substituição direta de h=0 no denominador (já que para x\neq -1 o denominador é diferente de zero).

Passo 7

Comentário final curto (checagem): aplicando a regra do quociente obter-se-ia o mesmo resultado:
f'(x)=\frac{1\cdot(x+1)-x\cdot 1}{(x+1)^2}=\frac{1}{(x+1)^2},
o que confirma a consistência do cálculo pela definição.

Passo 8

Conclusão didática e incentivo: a simplificação do numerador para h é a “mágica” que facilita muito esse tipo de cálculo — quando aparecer uma fração racional simples assim, tente sempre juntar as diferenças numéricas e observar cancelamentos com h. Boa! Você já tem a derivada que vai cair na prova.

Resposta

\displaystyle f'(x)=\frac{1}{(x+1)^2},\quad x\neq -1

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