Calcule
, pela definição.
Passo 1
O enunciado pede calcular, pela definição, a derivada de
em função de
.
Dado: .
Observação imediata: a função não está definida em (denominador zero), logo quaisquer resultados só fazem sentido para
.
Dado:
Observação imediata: a função não está definida em
Passo 2
A definição de derivada que vamos usar é a seguinte:
Explicando devagar:
é um incremento pequeno em
. A expressão
é a taxa média de variação de
em um intervalo de largura
. A derivada é o limite dessa taxa média quando
vai a zero — isto é, a taxa instantânea. Note que, ao manipular a expressão, podemos dividir por
porque na definição tomamos
e só depois fazemos o limite
.
Passo 3
Calcular
:
Passo 4
Formar a diferença
e colocar em denominação comum:
Agora expandir os produtos do numerador, passo a passo:
Subtraindo:
Logo a diferença simplifica muito bem:
Passo 5
Agora a diferença dividida por
:
pois cancelamos um fator
(lembrando que esse cancelamento é legítimo porque no quociente do passo anterior consideramos
).
Passo 6
Fazer o limite quando
:
pela substituição direta de
no denominador (já que para
o denominador é diferente de zero).
Passo 7
Comentário final curto (checagem): aplicando a regra do quociente obter-se-ia o mesmo resultado:
o que confirma a consistência do cálculo pela definição.
Passo 8
Conclusão didática e incentivo: a simplificação do numerador para
é a “mágica” que facilita muito esse tipo de cálculo — quando aparecer uma fração racional simples assim, tente sempre juntar as diferenças numéricas e observar cancelamentos com
. Boa! Você já tem a derivada que vai cair na prova.