Calcule f(x)
f^{\prime}(x)=x \operatorname{sen}(2 x), f(0)=1

Passo 1

O enunciado fornece \,f'(x)=x\operatorname{sen}(2x)
e a condição inicial \,f(0)=1.
O objetivo é encontrar f(x), ou seja, uma primitiva de x\operatorname{sen}(2x) e depois usar f(0)=1 para determinar a constante de integração.

Passo 2

Para achar f(x) escrevemos
f(x)=\int x\operatorname{sen}(2x)\,dx + C.
Para calcular \int x\operatorname{sen}(2x)\,dx usamos integração por partes.

Passo 3

Definindo
u = x, \quad dv = \operatorname{sen}(2x)\,dx,
temos
du = dx, \quad v = \int \operatorname{sen}(2x)\,dx = -\tfrac12\cos(2x).
Logo, pela fórmula de partes,
\int x\operatorname{sen}(2x)\,dx = u\,v - \int v\,du = -\tfrac{x}{2}\cos(2x) + \tfrac12\int \cos(2x)\,dx.
Como
\int \cos(2x)\,dx = \tfrac12\sin(2x),
segue
\int x\operatorname{sen}(2x)\,dx = -\tfrac{x}{2}\cos(2x) + \tfrac{1}{4}\sin(2x) + C.

Passo 4

Portanto
f(x) = -\tfrac{x}{2}\cos(2x) + \tfrac{1}{4}\sin(2x) + C.
Usando f(0)=1 obtemos
1 = f(0) = 0 + 0 + C \quad\Longrightarrow\quad C = 1.

Resposta

f(x) = -\tfrac{x}{2}\cos(2x) + \tfrac{1}{4}\sin(2x) + 1.

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