Calcule as integrais abaixo indicando o método utilizado em cada passo.
\int \frac{x^{5}}{\sqrt{x^{2}-1}} d x(0,3 \mathrm{pts})

Passo 1

O enunciado pede calcular
\int \frac{x^{5}}{\sqrt{x^{2}-1}}\,dx.
O conteúdo é técnica de integração usando substituição trigonométrica para raízes da forma \sqrt{x^{2}-a^{2}}. Vamos usar a substituição x=\operatorname{sec}\theta.

Passo 2

Fazendo
x = \operatorname{sec}\theta, \quad dx = \operatorname{sec}\theta\tan\theta\,d\theta, \quad \sqrt{x^{2}-1} = \sqrt{\operatorname{sec}^{2}\theta -1} = \tan\theta.

Passo 3

Substituindo na integral,
\int \frac{x^{5}}{\sqrt{x^{2}-1}}\,dx = \int \frac{\operatorname{sec}^{5}\theta}{\tan\theta}\,\bigl(\operatorname{sec}\theta\tan\theta\,d\theta\bigr) = \int \operatorname{sec}^{6}\theta\,d\theta.

Passo 4

Para calcular \displaystyle \int \operatorname{sec}^{6}\theta\,d\theta, escrevemos
\operatorname{sec}^{6}\theta = \operatorname{sec}^{2}\theta\,(1+\tan^{2}\theta)^{2}
e fazemos u=\tan\theta, du=\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta. Assim,
\int \operatorname{sec}^{6}\theta\,d\theta = \int (1+u^{2})^{2}\,du = \int \bigl(u^{4}+2u^{2}+1\bigr)\,du = \frac{u^{5}}{5} + \frac{2u^{3}}{3} + u + C.

Passo 5

Voltando à variável x, temos u=\tan\theta=\sqrt{x^{2}-1}. Logo
\frac{u^{5}}{5} + \frac{2u^{3}}{3} + u + C = \frac{\bigl(\sqrt{x^{2}-1}\bigr)^{5}}{5} + \frac{2\bigl(\sqrt{x^{2}-1}\bigr)^{3}}{3} + \sqrt{x^{2}-1} + C.

Resposta

\int \frac{x^{5}}{\sqrt{x^{2}-1}}\,dx = \frac{(x^{2}-1)^{5/2}}{5} + \frac{2\,(x^{2}-1)^{3/2}}{3} + (x^{2}-1)^{1/2} + C.

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