Calcule f(x)
f^{\prime}(x)=(\ln (x))^{2}, f(1)=0

Passo 1

O enunciado nos dá a derivada
f'(x) = (\ln(x))^2
e a condição inicial f(1)=0.
O conteúdo é integração de uma função envolvendo logaritmo, e vamos usar que
f(x) = \int f'(x)\,dx + C.

Passo 2

Para obter f(x), calculamos
\int (\ln(x))^2 \,dx.
Para isso, aplicamos o método de integração por partes, cuja fórmula é
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du.

Passo 3

Escolhemos
u = (\ln(x))^2,\quad dv = dx.
Então
du = 2\,\ln(x)\,\frac{1}{x}\,dx,\quad v = \int dx = x.
Aplicando a fórmula:
\int (\ln(x))^2\,dx = x\,(\ln(x))^2 - \int x \cdot 2\,\ln(x)\,\frac{1}{x}\,dx
= x\,(\ln(x))^2 - 2\int \ln(x)\,dx.
Agora integramos \int \ln(x)\,dx também por partes, com
u_1 = \ln(x),\quad dv_1 = dx
du_1 = \frac{1}{x}\,dx,\quad v_1 = x,
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\int \ln(x)\,dx = x\,\ln(x) - \int x \cdot \frac{1}{x}\,dx = x\,\ln(x) - x.
Substituindo de volta:
\int (\ln(x))^2\,dx = x\,(\ln(x))^2 - 2\bigl(x\,\ln(x) - x\bigr)
= x\,(\ln(x))^2 - 2x\,\ln(x) + 2x + C.

Passo 4

Portanto,
f(x) = x\,(\ln(x))^2 - 2x\,\ln(x) + 2x + C.
Usamos f(1)=0:
f(1) = 1\cdot0^2 - 2\cdot1\cdot0 + 2\cdot1 + C = 2 + C = 0
\implies C = -2.

Resposta

f(x) = x\,(\ln(x))^2 - 2x\,\ln(x) + 2x - 2.

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