Calcule f(x)
f^{\prime \prime}(x)=\operatorname{sen}(2 x), f^{\prime}(0)=1, f(0)=1

Passo 1

O enunciado dá a derivada segunda de uma função f,
f''(x)=\sin(2x),
com as condições iniciais f'(0)=1 e f(0)=1. O conteúdo aqui é integração de derivadas sucessivas para recuperar f, ajustando constantes com as condições dadas.

Passo 2

Integramos f''(x)=\sin(2x) para obter f'(x). A integral indefinida de \sin(2x) é
\int \sin(2x)\,dx = -\tfrac12\cos(2x) + C_{1}.
Logo,
f'(x) = -\tfrac12\cos(2x) + C_{1}.

Passo 3

Usamos a condição f'(0)=1:
f'(0) = -\tfrac12\cos(0) + C_{1} = -\tfrac12\cdot1 + C_{1} = 1 \quad\Longrightarrow\quad C_{1} = 1 + \tfrac12 = \tfrac32.
Portanto
f'(x) = -\tfrac12\cos(2x) + \tfrac32.

Passo 4

Agora integramos f'(x) para achar f(x). Temos
\int \bigl(-\tfrac12\cos(2x) + \tfrac32\bigr)\,dx = -\tfrac12\int \cos(2x)\,dx + \tfrac32\int 1\,dx = -\tfrac12\cdot\tfrac12\sin(2x) + \tfrac32\,x + C_{2},
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f(x) = -\tfrac14\sin(2x) + \tfrac32\,x + C_{2}.

Passo 5

Aplicamos f(0)=1:
f(0) = -\tfrac14\sin(0) + \tfrac32\cdot0 + C_{2} = C_{2} = 1.
Assim
f(x) = -\tfrac14\sin(2x) + \tfrac32\,x + 1.

Resposta

f(x) = -\tfrac14\sin(2x) + \tfrac32\,x + 1.

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