Calcule F^{\prime}(x) em que f(x) é igual a \frac{x}{x^{2}+1}

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=\dfrac{x}{x^{2}+1} e pede para calcular F'(x). Vou interpretar que F é uma primitiva (antiderivada) de f, ou seja, uma função F tal que F'(x)=f(x). As informações que temos:
  • f(x)=\dfrac{x}{x^{2}+1}.
  • Queremos o valor de F'(x), isto é, a derivada de uma primitiva F de f.

Passo 2

Primeira observação importante (conceito): se F é uma primitiva de f então, por definição, vale
F'(x)=f(x).
Além disso, pelo Teorema Fundamental do Cálculo, se definirmos
F(x)=\int_{a}^{x} f(t)\,dt
para algum a, e se f for contínua em torno de x, então F é diferenciável e
F'(x)=f(x).
Então, antes de tudo, verificamos que f é contínua: o denominador x^{2}+1 nunca é zero, logo f é contínua para todo x. Assim qualquer primitiva F de f satisfaz F'(x)=f(x).

Passo 3

Para ficar mais concreto e didático, vamos encontrar explicitamente uma primitiva F e então derivá‑la para confirmar o resultado. Calculamos
\int \frac{x}{x^{2}+1}\,dx.
Usamos a substituição u=x^{2}+1. Então du=2x\,dx, ou seja, x\,dx=\dfrac{1}{2}\,du. Substituindo na integral:
\int \frac{x}{x^{2}+1}\,dx = \int \frac{1}{u}\cdot\frac{1}{2}\,du = \frac{1}{2}\int \frac{1}{u}\,du.

Passo 4

A integral de 1/u é \ln|u|. Como u=x^{2}+1>0, temos |u|=u. Assim
\int \frac{x}{x^{2}+1}\,dx = \frac{1}{2}\ln\bigl(x^{2}+1\bigr)+C,
onde C é a constante de integração. Podemos escolher uma primitiva concreta, por exemplo
F(x)=\frac{1}{2}\ln\bigl(x^{2}+1\bigr).

Passo 5

Agora derivamos F(x) para verificar que F'(x)=f(x). Usamos a regra da cadeia: a derivada de \ln(u) é u'/u. Aqui u(x)=x^{2}+1 tem u'(x)=2x. Portanto
F'(x)=\frac{1}{2}\cdot\frac{u'(x)}{u(x)}=\frac{1}{2}\cdot\frac{2x}{x^{2}+1}=\frac{x}{x^{2}+1}.
Isso mostra claramente que a derivada da primitiva é exatamente f(x), como esperado.

Resposta

\displaystyle F'(x)=\frac{x}{x^{2}+1}

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