Calcule
em que
é igual a
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para calcular
. Vou interpretar que
é uma primitiva (antiderivada) de
, ou seja, uma função
tal que
. As informações que temos:
-
. - Queremos o valor de
, isto é, a derivada de uma primitiva de .
Passo 2
Primeira observação importante (conceito): se
é uma primitiva de
então, por definição, vale
Além disso, pelo Teorema Fundamental do Cálculo, se definirmos
para algum
, e se
for contínua em torno de
, então
é diferenciável e
Então, antes de tudo, verificamos que
é contínua: o denominador
nunca é zero, logo
é contínua para todo
. Assim qualquer primitiva
de
satisfaz
.
Passo 3
Para ficar mais concreto e didático, vamos encontrar explicitamente uma primitiva
e então derivá‑la para confirmar o resultado. Calculamos
Usamos a substituição
. Então
, ou seja,
. Substituindo na integral:
Passo 4
A integral de
é
. Como
, temos
. Assim
onde
é a constante de integração. Podemos escolher uma primitiva concreta, por exemplo
Passo 5
Agora derivamos
para verificar que
. Usamos a regra da cadeia: a derivada de
é
. Aqui
tem
. Portanto
Isso mostra claramente que a derivada da primitiva é exatamente
, como esperado.