Questão 3 (10 pontos). Considere a equação diferencial
(a) Encontre um fator integrante
que a transforme em uma equação exata.
(b) Encontre as soluções da equação.
(b) Encontre as soluções da equação.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
As tarefas pedidas são:
(a) encontrar um fator integrante que torne a equação exata;
(b) encontrar as soluções gerais da equação (a família de curvas solução).
(a) encontrar um fator integrante
(b) encontrar as soluções gerais da equação (a família de curvas solução).
Informações que temos explícitas:
- A equação está na forma
com - Não foram fornecidas condições iniciais; portanto buscamos a solução geral com constante arbitrária.
Passo 2
Relembrando o conceito (passo-a-passo e sem pressa): uma equação da forma
é exata se existe uma função
tal que
Uma condição prática para exatidão é
Vamos checar essa condição para a equação dada (ainda sem fator integrante).
Calculemos as derivadas parciais:
Como
em geral, a equação original NÃO é exata.
Passo 3
Método para achar fator integrante que dependa só de
: suponha
. Multiplicando a equação por
obtemos a nova forma
Para que essa nova equação seja exata é necessário
Como
depende só de
, a desigualdade acima se expande para
Reorganizando, obtemos uma equação para
:
Este lado direito deve ser função apenas de
. Vamos calcular esse quociente com os
e
que já identificamos.
Já calculamos
e
, então
Dividindo por
(observe que aqui usei o valor de
dado):
Note que
, então há cancelamento (desde que
), ficando
Passo 4
Agora integramos a equação para
:
Exponenciando e absorvendo a constante multiplicativa (fator integrante definido salvo constante não-nula), obtemos
Portanto um fator integrante conveniente é
Passo 5
Multiplicamos a equação original por
. A equação passa a ser
Podemos escrever os novos
e
(após multiplicar por
) como
Verificação rápida de exatidão:
logo são iguais e a equação é exata.
Passo seguinte: achar a função potencial
tal que
Integramos
em relação a
, tratando
como constante:
onde
é uma função arbitrária de
.
Agora impondo
temos
o que implica
e, assim,
(constante
que será a constante geral da solução).
Portanto a função potencial é
A solução implícita geral da equação exata é
. Eliminando a constante
obtemos a família de soluções
ou, escrevendo de forma explícita para
(quando
),
Passo 6
Observações finais importantes para a prova (calma, você consegue):
- O fator integrante encontrado foi
. - As soluções válidas exigem
para que esteja definido (ou pelo menos trabalhar no ramo onde ), e também pontos onde se quiser a forma explícita de (no ponto a forma explícita dá divisão por zero; nesse ponto a representação implícita ainda descreve as curvas solução). - Se precisar verificar rapidamente: diferencie a solução implícita e confirme que retorna à equação original.
Resposta
(a)
(b)
, equivalently
(válida quando
, e considerando
para
).