Questão 3 (10 pontos). Considere a equação diferencial
x+y+x(\ln (x)+1) y^{\prime}=0 .
(a) Encontre um fator integrante \mu(x) que a transforme em uma equação exata.
(b) Encontre as soluções da equação.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
x+y+x(\ln x+1)\,y'=0.
As tarefas pedidas são:
(a) encontrar um fator integrante \mu(x) que torne a equação exata;
(b) encontrar as soluções gerais da equação (a família de curvas solução).
Informações que temos explícitas:
  • A equação está na forma M(x,y)+N(x,y)\,y'=0 com M(x,y)=x+y,\qquad N(x,y)=x(\ln x+1).
  • Não foram fornecidas condições iniciais; portanto buscamos a solução geral com constante arbitrária.

Passo 2

Relembrando o conceito (passo-a-passo e sem pressa): uma equação da forma
M(x,y)+N(x,y)\,y'=0
é exata se existe uma função \Phi(x,y) tal que
\frac{\partial \Phi}{\partial x}=M(x,y)\quad\text{e}\quad \frac{\partial \Phi}{\partial y}=N(x,y).
Uma condição prática para exatidão é
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}.
Vamos checar essa condição para a equação dada (ainda sem fator integrante).
Calculemos as derivadas parciais:
\frac{\partial M}{\partial y}= \frac{\partial}{\partial y}(x+y)=1,
\frac{\partial N}{\partial x}= \frac{\partial}{\partial x}\big(x(\ln x+1)\big)=\ln x+2.
Como 1\neq \ln x+2 em geral, a equação original NÃO é exata.

Passo 3

Método para achar fator integrante que dependa só de x: suponha \mu=\mu(x). Multiplicando a equação por \mu(x) obtemos a nova forma
\mu(x)M(x,y)+\mu(x)N(x,y)\,y'=0.
Para que essa nova equação seja exata é necessário
\frac{\partial}{\partial y}\big(\mu M\big)=\frac{\partial}{\partial x}\big(\mu N\big).
Como \mu depende só de x, a desigualdade acima se expande para
\mu(x)\frac{\partial M}{\partial y}=\mu'(x)N(x,y)+\mu(x)\frac{\partial N}{\partial x}.
Reorganizando, obtemos uma equação para \mu:
\frac{\mu'(x)}{\mu(x)}=\frac{\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}}{N(x,y)}.
Este lado direito deve ser função apenas de x. Vamos calcular esse quociente com os M e N que já identificamos.
Já calculamos \frac{\partial M}{\partial y}=1 e \frac{\partial N}{\partial x}=\ln x+2, então
\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}=1-(\ln x+2)=-\ln x-1.
Dividindo por N(x,y)=x(\ln x+1) (observe que aqui usei o valor de N dado):
\frac{\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}}{N(x,y)} =\frac{-\ln x-1}{x(\ln x+1)}.
Note que -\ln x-1=-(\ln x+1), então há cancelamento (desde que \ln x+1\neq0), ficando
\frac{\mu'(x)}{\mu(x)}=-\frac{1}{x}.

Passo 4

Agora integramos a equação para \mu:
\frac{\mu'(x)}{\mu(x)}=-\frac{1}{x}\quad\Longrightarrow\quad \ln\mu(x)=\int -\frac{1}{x}\,dx=-\ln x + C.
Exponenciando e absorvendo a constante multiplicativa (fator integrante definido salvo constante não-nula), obtemos
\mu(x)=e^{-\ln x}=x^{-1}.
Portanto um fator integrante conveniente é
\mu(x)=\frac{1}{x}.

Passo 5

Multiplicamos a equação original por \mu(x)=1/x. A equação passa a ser
\frac{x+y}{x}+(\ln x+1)\,y'=0.
Podemos escrever os novos M e N (após multiplicar por \mu) como
\widetilde M(x,y)=1+\frac{y}{x},\qquad \widetilde N(x,y)=\ln x+1.
Verificação rápida de exatidão:
\frac{\partial \widetilde M}{\partial y}=\frac{1}{x},\qquad \frac{\partial \widetilde N}{\partial x}=\frac{1}{x},
logo são iguais e a equação é exata.
Passo seguinte: achar a função potencial \Phi(x,y) tal que
\frac{\partial \Phi}{\partial x}=\widetilde M(x,y)=1+\frac{y}{x}, \qquad \frac{\partial \Phi}{\partial y}=\widetilde N(x,y)=\ln x+1.
Integramos \widetilde M em relação a x, tratando y como constante:
\Phi(x,y)=\int\Big(1+\frac{y}{x}\Big)\,dx = x + y\ln x + h(y),
onde h(y) é uma função arbitrária de y.
Agora impondo \partial \Phi/\partial y=\ln x+1 temos
\frac{\partial \Phi}{\partial y}=\ln x + h'(y)=\ln x+1,
o que implica h'(y)=1 e, assim, h(y)=y+C (constante C que será a constante geral da solução).
Portanto a função potencial é
\Phi(x,y)=x+y\ln x + y + C.
A solução implícita geral da equação exata é \Phi(x,y)=\text{const}. Eliminando a constante C obtemos a família de soluções
x+y\ln x + y = C_1,
ou, escrevendo de forma explícita para y (quando \ln x+1\neq 0),
y=\frac{C_1-x}{\ln x+1}.

Passo 6

Observações finais importantes para a prova (calma, você consegue):
  • O fator integrante encontrado foi \mu(x)=1/x.
  • As soluções válidas exigem x>0 para que \ln x esteja definido (ou pelo menos trabalhar no ramo onde x>0), e também pontos onde \ln x+1\neq 0 se quiser a forma explícita de y (no ponto \ln x+1=0 a forma explícita dá divisão por zero; nesse ponto a representação implícita x+y\ln x + y = C_1 ainda descreve as curvas solução).
  • Se precisar verificar rapidamente: diferencie a solução implícita e confirme que retorna à equação original.

Resposta

(a) \mu(x)=\dfrac{1}{x}
(b) \;x+y\ln x + y = C, equivalently \;y=\dfrac{C-x}{\ln x+1} (válida quando \ln x+1\neq 0, e considerando x>0 para \ln x).

Exercícios relacionados