(UFPB) Sejam os reais y_{1}=0,333 \ldots, y_{2}= 5,0131313 \ldots e y_{3}=0,202002000 \ldots Além disso, considerem-se as somas \mathrm{S}_{1}=\mathrm{y}_{1}+\mathrm{y}_{2}, S_{2}=y_{1}+y_{3} e S_{3}=y_{1}+y_{2}+y_{3}. Então, podemos afirmar:
(a) y_{1} é irracional.
(b) y_{2} é irracional.
(c) \mathrm{S}_{1} é irracional.
(d) \mathrm{S}_{2} é irracional.
(e) S_{3} é racional.
Passo 1
Vou listar exatamente o que o enunciado dá e o que pede.
São dados os reais \,y_{1}=0,333\ldots\,,\;y_{2}=5,0131313\ldots e \,y_{3}=0,202002000\ldots.
Definem-se as somas \;S_{1}=y_{1}+y_{2}, \;S_{2}=y_{1}+y_{3} e \;S_{3}=y_{1}+y_{2}+y_{3}.
Pede-se avaliar a veracidade das afirmações:
(a) \,y_{1} é irracional.
(b) \,y_{2} é irracional.
(c) \,S_{1} é irracional.
(d) \,S_{2} é irracional.
(e) \,S_{3} é racional.
A partir daqui vou determinar a racionalidade de cada y_i e aplicar propriedades de soma entre números racionais e irracionais para responder cada item.
Passo 2
Uma ideia teórica fundamental (explicada devagarinho): um número real é racional se, e somente se, sua representação decimal é finita ou eventualmente periódica (ou seja, após alguma posição os dígitos passam a repetir um bloco fixo). Se a expansão decimal não se torna periódica, o número é irracional.
Exemplos rápidos para fixar:
0,5000\ldots é racional (é 1/2), porque termina.
0,333\ldots=0,\overline{3} é periódico e racional (é 1/3).
0,142857142857\ldots=0,\overline{142857} é periódico (racional).
Um decimal com blocos de tamanho crescente (por exemplo, zeros entre símbolos que crescem indefinidamente) não pode ser periódico e, portanto, é irracional.
Também é útil lembrar duas propriedades simples:
Soma de dois racionais é racional.
Se r é racional e x é irracional, então r+x é irracional (prova curta: se r+x fosse racional, então x=(r+x)-r seria diferença de racionais, logo racional — contradição).
Passo 3
Análise de \,y_{1}=0,333\ldots.
Mostro que é racional com uma conta clássica. Seja \,x=0,333\ldots. Multiplicando por 10,
10x=3,333\ldots
Subtraindo:
10x-x=9x=3{,}333\ldots-0{,}333\ldots=3.
Logo 9x=3 e x=\dfrac{3}{9}=\dfrac{1}{3}. Portanto \,y_{1}=\dfrac{1}{3} é racional.
Passo 4
Análise de \,y_{2}=5,0131313\ldots.
Observe que a parte decimal de y_{2} é \,0{,}0131313\ldots — ou seja, há um bloco periódico “13” que se repete a partir da segunda casa decimal (há um zero inicial logo após a vírgula, depois repete “13”).
Seja \,x=0{,}0131313\ldots. Multiplicando por 100 (para deslocar duas casas, porque o bloco repetido tem comprimento 2):
que é uma fração (observe que \gcd(13,990)=1), logo \,y_{2} é racional.
Passo 5
Análise de \,y_{3}=0,202002000\ldots.
Descrevendo a sequência de dígitos após a vírgula: aparece um 2, depois 1 zero, depois um 2, depois 2 zeros, depois um 2, depois 3 zeros, etc. Em outras palavras, entre o k-ésimo e o (k+1)-ésimo símbolo “2” aparecem exatamente k zeros. Os comprimentos dos blocos de zeros aumentam indefinidamente.
Vou mostrar que a expansão não é eventualmente periódica: suponha, por absurdo, que \,y_{3} fosse decimal periódico a partir de algum ponto com período p (isto é, existe p\in\mathbb{N} tal que, após certa posição, os dígitos repetem a cada p casas). Então o padrão de zeros entre os 2’s estaria preso a um comportamento periódico e, em particular, não poderia haver blocos de zeros de comprimento arbitrariamente grande — porque a repetição periódica limita o comprimento máximo de uma sequência ininterrupta de zeros a no máximo p.
Por outro lado, no número dado os blocos de zeros entre os 2’s têm comprimentos 1,2,3,\ldots, que crescem sem limite. Isso significa que para qualquer p existe um bloco de zeros de comprimento >p. Escolhendo p como o período hipotético, obtemos uma contradição: a periodicidade impediria a existência de um bloco de zeros maior que p, mas tal bloco existe. Portanto a expansão decimal de \,y_{3} não é eventualmente periódica, e logo \,y_{3} é irracional.
(Se quiser uma fórmula das posições dos 2s: a posição decimal da k-ésima ocorrência do dígito 2 é m_k=\dfrac{k(k+1)}{2}; daí os espaçamentos crescem e ficam maiores que qualquer período fixo.)
Passo 6
Agora uso as informações anteriores para analisar as somas.
Já vimos que \,y_{1} é racional e \,y_{2} é racional. Portanto a soma \,S_{1}=y_{1}+y_{2} é soma de racionais, logo é racional. Assim a afirmação (c) "\,S_{1} é irracional" é falsa.
Como \,y_{1} é racional e \,y_{3} é irracional, a soma \,S_{2}=y_{1}+y_{3} é racional mais irracional. Pela propriedade lembrada antes, a soma de um racional com um irracional é irracional. Portanto \,S_{2} é irracional, ou seja (d) é verdadeira.
Finalmente \,S_{3}=y_{1}+y_{2}+y_{3}=(y_{1}+y_{2})+y_{3}. Como y_{1}+y_{2} é racional (já mostrado) e y_{3} é irracional, a soma é racional mais irracional, logo irracional. Portanto (e) "\,S_{3} é racional" é falsa.
Passo 7
Resumo das veredas e veredito final para cada item:
(a) \,y_{1} é irracional? Não — \,y_{1}=0,\overline{3}=\dfrac{1}{3} é racional. Então (a) é falsa.
(b) \,y_{2} é irracional? Não — \,y_{2}=5+\dfrac{13}{990}=\dfrac{4963}{990} é racional. Então (b) é falsa.
(c) \,S_{1} é irracional? Não — soma de racionais, é racional. (c) é falsa.
(d) \,S_{2} é irracional? Sim — racional + irracional = irracional. (d) é verdadeira.
(e) \,S_{3} é racional? Não — como mostrado, é irracional. (e) é falsa.