Questão 1 Para um ensaio de permeabilidade de carga decrescente, são dados os seguintes valores:
- Comprimento da amostra: 200 mm
- Área da amostra de solo:
- Área do piezômetro:
- Diferença de carga no instante
- Diferença de carga no instante t =
Determine a condutividade hidráulica do solo em cm/s.
Passo 1
O enunciado pede para determinar a condutividade hidráulica do solo a partir de um ensaio de carga decrescente (falling-head). Dados fornecidos (vou listar exatamente o que temos):
- Comprimento da amostra:
. - Área da amostra de solo (seção transversal):
. - Área do piezômetro (tubo de água):
. - Diferença de carga no instante inicial:
. - Diferença de carga no instante
: . - Intervalo de tempo considerado:
.
O objetivo final é calcular a condutividade hidráulica
em
.
Passo 2
Entendendo fisicamente o que acontece (explicação didática e derivação do método que vamos usar). Na prova você pode lembrar assim, sem pânico: durante o ensaio de carga decrescente, a água no piezômetro desce de
para
em tempo
. O fluxo que atravessa a amostra obedece à Lei de Darcy (fluxo proportional ao gradiente hidráulico). Vamos escrever isso de forma simples e derivar a fórmula usada no ensaio:
- Darcy (forma simples para escoamento unidimensional): a vazão (volume por tempo) através da amostra é
onde
-
é a vazão através da amostra ( ), -
é a condutividade hidráulica ( ), -
é a área da amostra ( ), -
é a carga instantânea no piezômetro ( ), -
é o comprimento da amostra ( ). -
Por outro lado, quando a água desce no tubo do piezômetro, a variação de volume no piezômetro por unidade de tempo é dada por
onde
é a área do piezômetro. Esse volume que sai do piezômetro é exatamente o volume que passa pela amostra, então temos sinal (a descida significa
). Em módulo, equacionamos
Juntando as duas expressões:
Passo 3
Agora resolvemos a equação diferencial simples que saiu:
Rearranjando:
Integramos de
a
no tempo de
a
:
A integral do lado esquerdo dá o logaritmo natural, então:
ou, escrevendo de forma conveniente para isolar
:
Finalmente, a fórmula usada no ensaio é:
Explicação das variáveis nessa fórmula (para não haver confusão na prova):
em
,
e
em
,
em
,
em
,
em
. A fórmula vem exatamente da integração que fizemos.
Passo 4
Antes de aplicar a fórmula, vamos passar todos os dados para unidades consistentes (
e
), porque queremos
em
.
Conversões:
Passo 5
Calculemos o fator pré-logaritmo
. Substituindo os valores convertidos:
Agora passo a passo:
Passo 6
Calculemos agora a parte logarítmica:
Podemos avaliar usando logaritmos conhecidos:
logo
Passo 7
Agora multiplicamos os dois termos para obter
:
Fazendo a multiplicação:
Passo 8
Arredondamento e verificação de unidades: a unidade resultante é
como desejado. Para uma apresentação típica em prova, podemos dar
com três algarismos significativos:
Pronto — tá feito! Você agora tem a fórmula, derivação e os cálculos passo a passo para aplicar num problema parecido na prova. Força aí, você consegue!