Questão 1 Para um ensaio de permeabilidade de carga decrescente, são dados os seguintes valores:
  • Comprimento da amostra: 200 mm
  • Área da amostra de solo: 1000 \mathrm{~mm}^{2}
  • Área do piezômetro: 40 \mathrm{~mm}^{2}
  • Diferença de carga no instante \mathrm{t}=0: 500 \mathrm{~mm}
  • Diferença de carga no instante t = 180 \mathrm{~s}: 300 \mathrm{~mm}
Determine a condutividade hidráulica do solo em cm/s.

Passo 1

O enunciado pede para determinar a condutividade hidráulica do solo a partir de um ensaio de carga decrescente (falling-head). Dados fornecidos (vou listar exatamente o que temos):
  • Comprimento da amostra: L = 200\\ \mathrm{mm}.
  • Área da amostra de solo (seção transversal): A = 1000\\ \mathrm{mm}^2.
  • Área do piezômetro (tubo de água): a = 40\\ \mathrm{mm}^2.
  • Diferença de carga no instante inicial: h_1 = 500\\ \mathrm{mm}.
  • Diferença de carga no instante t = 180\\ \mathrm{s}: h_2 = 300\\ \mathrm{mm}.
  • Intervalo de tempo considerado: t = 180\\ \mathrm{s}.
O objetivo final é calcular a condutividade hidráulica k em \mathrm{cm/s}.

Passo 2

Entendendo fisicamente o que acontece (explicação didática e derivação do método que vamos usar). Na prova você pode lembrar assim, sem pânico: durante o ensaio de carga decrescente, a água no piezômetro desce de h_1 para h_2 em tempo t. O fluxo que atravessa a amostra obedece à Lei de Darcy (fluxo proportional ao gradiente hidráulico). Vamos escrever isso de forma simples e derivar a fórmula usada no ensaio:
  • Darcy (forma simples para escoamento unidimensional): a vazão (volume por tempo) através da amostra é
Q = k\,A\,\frac{h(t)}{L},
onde
  • Q é a vazão através da amostra ( \mathrm{cm}^3/\mathrm{s}),
  • k é a condutividade hidráulica ( \mathrm{cm/s}),
  • A é a área da amostra ( \mathrm{cm}^2),
  • h(t) é a carga instantânea no piezômetro ( \mathrm{cm}),
  • L é o comprimento da amostra ( \mathrm{cm}).
  • Por outro lado, quando a água desce no tubo do piezômetro, a variação de volume no piezômetro por unidade de tempo é dada por
\frac{dV}{dt} = a\,\frac{dh}{dt},
onde a é a área do piezômetro. Esse volume que sai do piezômetro é exatamente o volume que passa pela amostra, então temos sinal (a descida significa dh/dt<0). Em módulo, equacionamos
-a\,\frac{dh}{dt} = Q.
Juntando as duas expressões:
-a\,\frac{dh}{dt} = k\,A\,\frac{h}{L}.

Passo 3

Agora resolvemos a equação diferencial simples que saiu:
-a\,\frac{dh}{dt} = k\,A\,\frac{h}{L}.
Rearranjando:
\frac{dh}{h} = -\frac{k\,A}{a\,L}\,dt.
Integramos de h_1 a h_2 no tempo de 0 a t:
\int_{h_1}^{h_2}\frac{dh}{h} = -\frac{k\,A}{a\,L}\int_{0}^{t}dt.
A integral do lado esquerdo dá o logaritmo natural, então:
\ln\!\left(\frac{h_2}{h_1}\right) = -\frac{k\,A}{a\,L}\,t,
ou, escrevendo de forma conveniente para isolar k:
\ln\!\left(\frac{h_1}{h_2}\right) = \frac{k\,A}{a\,L}\,t.
Finalmente, a fórmula usada no ensaio é:
\boxed{\,k = \frac{a\,L}{A\,t}\,\ln\!\left(\frac{h_1}{h_2}\right)\,}
Explicação das variáveis nessa fórmula (para não haver confusão na prova): k em \mathrm{cm/s}, a e A em \mathrm{cm}^2, L em \mathrm{cm}, t em \mathrm{s}, h_1,h_2 em \mathrm{cm}. A fórmula vem exatamente da integração que fizemos.

Passo 4

Antes de aplicar a fórmula, vamos passar todos os dados para unidades consistentes ( \mathrm{cm} e \mathrm{cm}^2), porque queremos k em \mathrm{cm/s}.
Conversões:
L = 200\\ \mathrm{mm} = 20\\ \mathrm{cm}.
A = 1000\\ \mathrm{mm}^2 = 10\\ \mathrm{cm}^2 \quad\text{(pois \(1\\ \mathrm{cm}^2 = 100\\ \mathrm{mm}^2\))}.
a = 40\\ \mathrm{mm}^2 = 0,4\\ \mathrm{cm}^2.
h_1 = 500\\ \mathrm{mm} = 50\\ \mathrm{cm},\qquad h_2 = 300\\ \mathrm{mm} = 30\\ \mathrm{cm}.
t = 180\\ \mathrm{s}.

Passo 5

Calculemos o fator pré-logaritmo \dfrac{a\,L}{A\,t}. Substituindo os valores convertidos:
\frac{a\,L}{A\,t} = \frac{0,4\cdot 20}{10\cdot 180}.
Agora passo a passo:
0,4\cdot 20 = 8,
10\cdot 180 = 1800,
\frac{8}{1800} = \frac{1}{225} \approx 0,004444444\\ \mathrm{cm/s}.

Passo 6

Calculemos agora a parte logarítmica:
\ln\!\left(\frac{h_1}{h_2}\right) = \ln\!\left(\frac{50}{30}\right) = \ln\!\left(\frac{5}{3}\right).
Podemos avaliar usando logaritmos conhecidos:
\ln 5 \approx 1,6094379,\qquad \ln 3 \approx 1,0986123,
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\ln\!\left(\frac{5}{3}\right) = \ln 5 - \ln 3 \approx 1,6094379 - 1,0986123 = 0,5108256.

Passo 7

Agora multiplicamos os dois termos para obter k:
k = \left(0,004444444\right)\cdot\left(0,5108256\right).
Fazendo a multiplicação:
k \approx 0,002270336\\ \mathrm{cm/s}.

Passo 8

Arredondamento e verificação de unidades: a unidade resultante é \mathrm{cm/s} como desejado. Para uma apresentação típica em prova, podemos dar k com três algarismos significativos:
k \approx 2,27\times 10^{-3}\\ \mathrm{cm/s}.
Pronto — tá feito! Você agora tem a fórmula, derivação e os cálculos passo a passo para aplicar num problema parecido na prova. Força aí, você consegue!

Resposta

2,27\times10^{-3}\\ \mathrm{cm/s}

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