Calcule
f(x, y)=x
C : semicírculo superior x^{2}+y^{2}=1, de ( -1,0 ) até ( 1,0 ).

Passo 1

O enunciado dá:
  • A função f(x,y)=x.
  • A curva C é o semicírculo superior x^{2}+y^{2}=1, começando em (-1,0) e terminando em (1,0).
O que pede “Calcule” deve ser interpretado como calcular a integral de linha da função ao longo de C em relação ao comprimento de arco, ou seja:
\text{calcular }\int_{C} f(x,y)\,ds = \int_{C} x\,ds.

Passo 2

O que é uma integral de linha de uma função escalar sobre uma curva?
  • Se a curva C é parametrizada por \mathbf{r}(t)=(x(t),y(t)), com t variando de a até b, a integral de linha de uma função escalar f(x,y) em relação ao comprimento de arco é dada por
\int_C f(x,y)\,ds = \int_{a}^{b} f\big(x(t),y(t)\big)\,\big\lVert \mathbf{r}'(t)\big\rVert\,dt.
  • Aqui \mathbf{r}'(t)=(x'(t),y'(t)) e \big\lVert \mathbf{r}'(t)\big\rVert=\sqrt{(x'(t))^{2}+(y'(t))^{2}} é a velocidade (o módulo da derivada), que transforma dt em comprimento de arco ds.
  • Observação útil: para integrais escalares com ds a orientação da curva não altera o valor da integral, porque usa-se o módulo da velocidade.

Passo 3

Vamos parametrizar o semicírculo superior unitário. A parametrização natural é
x(t)=\cos t,\qquad y(t)=\sin t,
que descreve o círculo unitário. Para o semicírculo superior que vai de (-1,0) até (1,0) o parâmetro t pode variar de t=\pi até t=0. (Se preferir variar de 0 a \pi a curva é percorrida no sentido oposto; como estamos integrando com ds, o sentido não muda o resultado.)
Escolho a parametrização com t em [0,\pi] para facilitar os limites (vai de (1,0) a (-1,0)), e em seguida explico por que isso não muda o valor final. Assim uso
\mathbf{r}(t)=(\cos t,\sin t),\qquad t\in[0,\pi].

Passo 4

Calcular a velocidade \big\lVert \mathbf{r}'(t)\big\rVert:
\mathbf{r}'(t)=(-\sin t,\cos t),
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\big\lVert \mathbf{r}'(t)\big\rVert=\sqrt{(-\sin t)^{2}+(\cos t)^{2}}=\sqrt{\sin^{2}t+\cos^{2}t}=\sqrt{1}=1.
Portanto ds = \big\lVert \mathbf{r}'(t)\big\rVert\,dt = 1\cdot dt = dt.

Passo 5

Substituir na fórmula da integral:
\int_{C} x\,ds = \int_{0}^{\pi} x(t)\,\big\lVert \mathbf{r}'(t)\big\rVert\,dt = \int_{0}^{\pi} \cos t \cdot 1 \,dt = \int_{0}^{\pi} \cos t \,dt.

Passo 6

Calcular a integral:
\int_{0}^{\pi} \cos t \,dt = \big[\sin t\big]_{0}^{\pi} = \sin\pi - \sin 0 = 0 - 0 = 0.

Passo 7

Interpretação e verificação por simetria (jeito rápido que ajuda na prova): sobre o semicírculo superior, para cada ponto com coordenada x>0 há um ponto simétrico com coordenada -x (reflexão pela ordenada). Como a função integrada é f(x,y)=x, esses pares contribuem com valores opostos para x\,ds, então a integral total se cancela, dando zero. Isso confirma o cálculo direto.

Resposta

0

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