O que é uma integral de linha de uma função escalar sobre uma curva?
Se a curva C é parametrizada por \mathbf{r}(t)=(x(t),y(t)), com t variando de a até b, a integral de linha de uma função escalar f(x,y) em relação ao comprimento de arco é dada por
Aqui \mathbf{r}'(t)=(x'(t),y'(t)) e \big\lVert \mathbf{r}'(t)\big\rVert=\sqrt{(x'(t))^{2}+(y'(t))^{2}} é a velocidade (o módulo da derivada), que transforma dt em comprimento de arco ds.
Observação útil: para integrais escalares com ds a orientação da curva não altera o valor da integral, porque usa-se o módulo da velocidade.
Passo 3
Vamos parametrizar o semicírculo superior unitário. A parametrização natural é
x(t)=\cos t,\qquad y(t)=\sin t,
que descreve o círculo unitário. Para o semicírculo superior que vai de (-1,0) até (1,0) o parâmetro t pode variar de t=\pi até t=0. (Se preferir variar de 0 a \pi a curva é percorrida no sentido oposto; como estamos integrando com ds, o sentido não muda o resultado.)
Escolho a parametrização com t em [0,\pi] para facilitar os limites (vai de (1,0) a (-1,0)), e em seguida explico por que isso não muda o valor final. Assim uso
\mathbf{r}(t)=(\cos t,\sin t),\qquad t\in[0,\pi].
Passo 4
Calcular a velocidade \big\lVert \mathbf{r}'(t)\big\rVert:
Interpretação e verificação por simetria (jeito rápido que ajuda na prova): sobre o semicírculo superior, para cada ponto com coordenada x>0 há um ponto simétrico com coordenada -x (reflexão pela ordenada). Como a função integrada é f(x,y)=x, esses pares contribuem com valores opostos para x\,ds, então a integral total se cancela, dando zero. Isso confirma o cálculo direto.