Expanda as potências abaixo utilizando as devidas propriedades (Ex.: x^{3+2}=x^{2} x^{2} )
\left(2 x^{2}-3 x+15\right)^{7-2}

Passo 1

O enunciado dá a expressão \left(2 x^{2}-3 x+15\right)^{7-2} e pede para “expandir as potências”. Informações relevantes:
  • A base é o polinômio 2x^{2}-3x+15.
  • O expoente é a expressão aritmética 7-2.
    O que se pede: eliminar a operação no expoente e expandir o polinômio elevado à potência resultante, ou seja, escrever o polinômio como soma de termos monômios (polinômio expandido).

Passo 2

Primeiro passo simples: calcular a subtração no expoente:
7-2=5.
Portanto a expressão fica
\left(2x^{2}-3x+15\right)^{5}.

Passo 3

Para expandir \left(2x^{2}-3x+15\right)^{5} usa-se o Teorema Multinomial (que generaliza o binômio para mais termos). A fórmula é: para n inteiro não negativo e termos a,b,c,
(a+b+c)^{n}=\sum_{k_{1}+k_{2}+k_{3}=n}\frac{n!}{k_{1}!k_{2}!k_{3}!}\,a^{k_{1}}b^{k_{2}}c^{k_{3}},
onde a soma é sobre todos os inteiros k_{1},k_{2},k_{3}\ge0 que somam n. Aqui:
a=2x^{2},\qquad b=-3x,\qquad c=15,\qquad n=5.
Explicando a fórmula: \dfrac{n!}{k_{1}!k_{2}!k_{3}!} é o coeficiente multinomial (conta quantas permutações distintas de cada escolha de expoentes aparecem), e cada termo gera potência em x igual a 2k_{1}+k_{2} porque a^{k_{1}}=(2x^{2})^{k_{1}}=2^{k_{1}}x^{2k_{1}} e b^{k_{2}}=(-3x)^{k_{2}}=(-3)^{k_{2}}x^{k_{2}}.

Passo 4

O termo geral para uma tripla (k_{1},k_{2},k_{3}) com k_{1}+k_{2}+k_{3}=5 é:
\frac{5!}{k_{1}!k_{2}!k_{3}!}\,2^{k_{1}}(-3)^{k_{2}}15^{k_{3}}\,x^{2k_{1}+k_{2}}.
Vamos listar todas as combinações possíveis de (k_{1},k_{2},k_{3}) com soma 5 e calcular cada termo.

Passo 5

Calcular cada termo (21 termos no total). Em cada linha está a tripla (k_{1},k_{2},k_{3}), o coeficiente multinomial e o termo simplificado.
(5,0,0):\quad \frac{5!}{5!0!0!}(2x^{2})^{5}=32x^{10}.
(4,1,0):\quad \frac{5!}{4!1!0!}(2x^{2})^{4}(-3x)=5\cdot16\cdot(-3)\,x^{9}=-240x^{9}.
(4,0,1):\quad \frac{5!}{4!0!1!}(2x^{2})^{4}\cdot15=5\cdot16\cdot15\,x^{8}=1200x^{8}.
(3,2,0):\quad \frac{5!}{3!2!0!}(2x^{2})^{3}(-3x)^{2}=10\cdot8\cdot9\,x^{8}=720x^{8}.
(3,1,1):\quad \frac{5!}{3!1!1!}(2x^{2})^{3}(-3x)\cdot15=20\cdot8\cdot(-3)\cdot15\,x^{7}=-7200x^{7}.
(3,0,2):\quad \frac{5!}{3!0!2!}(2x^{2})^{3}\cdot15^{2}=10\cdot8\cdot225\,x^{6}=18000x^{6}.
(2,3,0):\quad \frac{5!}{2!3!0!}(2x^{2})^{2}(-3x)^{3}=10\cdot4\cdot(-27)\,x^{7}=-1080x^{7}.
(2,2,1):\quad \frac{5!}{2!2!1!}(2x^{2})^{2}(-3x)^{2}\cdot15=30\cdot4\cdot9\cdot15\,x^{6}=16200x^{6}.
(2,1,2):\quad \frac{5!}{2!1!2!}(2x^{2})^{2}(-3x)\cdot15^{2}=30\cdot4\cdot(-3)\cdot225\,x^{5}=-81000x^{5}.
(2,0,3):\quad \frac{5!}{2!0!3!}(2x^{2})^{2}\cdot15^{3}=10\cdot4\cdot3375\,x^{4}=135000x^{4}.
(1,4,0):\quad \frac{5!}{1!4!0!}(2x^{2})(-3x)^{4}=5\cdot2\cdot81\,x^{6}=810x^{6}.
(1,3,1):\quad \frac{5!}{1!3!1!}(2x^{2})(-3x)^{3}\cdot15=20\cdot2\cdot(-27)\cdot15\,x^{5}=-16200x^{5}.
(1,2,2):\quad \frac{5!}{1!2!2!}(2x^{2})(-3x)^{2}\cdot15^{2}=30\cdot2\cdot9\cdot225\,x^{4}=121500x^{4}.
(1,1,3):\quad \frac{5!}{1!1!3!}(2x^{2})(-3x)\cdot15^{3}=20\cdot2\cdot(-3)\cdot3375\,x^{3}=-405000x^{3}.
(1,0,4):\quad \frac{5!}{1!0!4!}(2x^{2})\cdot15^{4}=5\cdot2\cdot50625\,x^{2}=506250x^{2}.
(0,5,0):\quad \frac{5!}{0!5!0!}(-3x)^{5}=-243x^{5}.
(0,4,1):\quad \frac{5!}{0!4!1!}(-3x)^{4}\cdot15=5\cdot81\cdot15\,x^{4}=6075x^{4}.
(0,3,2):\quad \frac{5!}{0!3!2!}(-3x)^{3}\cdot15^{2}=10\cdot(-27)\cdot225\,x^{3}=-60750x^{3}.
(0,2,3):\quad \frac{5!}{0!2!3!}(-3x)^{2}\cdot15^{3}=10\cdot9\cdot3375\,x^{2}=303750x^{2}.
(0,1,4):\quad \frac{5!}{0!1!4!}(-3x)\cdot15^{4}=5\cdot(-3)\cdot50625\,x=-759375x.
(0,0,5):\quad \frac{5!}{0!0!5!}15^{5}=759375.

Passo 6

Agora somamos termos semelhantes (mesma potência de x) para obter o polinômio final. Agrupando e somando os coeficientes chegamos a:
32x^{10}-240x^{9}+1920x^{8}-8280x^{7}+35010x^{6}-97443x^{5}+262575x^{4}-465750x^{3}+810000x^{2}-759375x+759375.
Conferência rápida: o termo constante é 15^{5}=759375, que aparece corretamente.

Resposta

32x^{10}-240x^{9}+1920x^{8}-8280x^{7}+35010x^{6}-97443x^{5}+262575x^{4}-465750x^{3}+810000x^{2}-759375x+759375

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