Expanda as potências abaixo utilizando as devidas propriedades (Ex.:
)
Passo 1
O enunciado dá a expressão
e pede para “expandir as potências”. Informações relevantes:
- A base é o polinômio
. - O expoente é a expressão aritmética
.
O que se pede: eliminar a operação no expoente e expandir o polinômio elevado à potência resultante, ou seja, escrever o polinômio como soma de termos monômios (polinômio expandido).
Passo 2
Primeiro passo simples: calcular a subtração no expoente:
Portanto a expressão fica
Passo 3
Para expandir
usa-se o Teorema Multinomial (que generaliza o binômio para mais termos). A fórmula é: para
inteiro não negativo e termos
,
onde a soma é sobre todos os inteiros
que somam
. Aqui:
Explicando a fórmula:
é o coeficiente multinomial (conta quantas permutações distintas de cada escolha de expoentes aparecem), e cada termo gera potência em
igual a
porque
e
.
Passo 4
O termo geral para uma tripla
com
é:
Vamos listar todas as combinações possíveis de
com soma
e calcular cada termo.
Passo 5
Calcular cada termo (21 termos no total). Em cada linha está a tripla
, o coeficiente multinomial e o termo simplificado.
Passo 6
Agora somamos termos semelhantes (mesma potência de
) para obter o polinômio final. Agrupando e somando os coeficientes chegamos a:
Conferência rápida: o termo constante é
, que aparece corretamente.