Calcule
f(x, y, z)=z
C : segmento de reta de ( 0,0,0 ) até ( 0,0,2 ).

Passo 1

O enunciado dá claramente duas coisas:
  • A função escalar f(x,y,z)=z.
  • A curva C é o segmento de reta que vai de (0,0,0) até (0,0,2).
O que é pedido: “Calcule” — como o enunciado não especifica mais nada, o uso mais comum para esse tipo de problema é calcular a integral de linha da função escalar ao longo de C, ou seja, o valor de
\int_{C} f(x,y,z)\,ds.
Vou seguir essa interpretação e explicar por que e como calcular passo a passo.

Passo 2

Por que escolher \displaystyle \int_{C} f\,ds?
  • A função fornecida é escalar (não é um campo vetorial), então a integral de linha natural é a integral escalar em relação ao comprimento de arco ds.
  • Outra interpretação possível seria apenas avaliar a função ao longo da curva (dar f como função do parâmetro), mas “Calcule” em problemas de cálculo vetorial normalmente refere-se à integral de linha quando uma função escalar e uma curva são dadas.
    Portanto vamos calcular
\int_{C} f(x,y,z)\,ds.
Explicando o que é essa integral: se uma curva C é parametrizada por r(t) para t em [a,b], então a integral de uma função escalar f ao longo de C é
\int_{C} f\,ds = \int_{a}^{b} f\big(r(t)\big)\,\big\|r'(t)\big\|\,dt.
Aqui r(t) dá as coordenadas (x(t),y(t),z(t)), r'(t) é a derivada vetorial, e \|r'(t)\| é a velocidade (módulo da derivada), que converte dt em comprimento de arco ds.

Passo 3

Parametrizar a curva C.
O segmento vai de (0,0,0) até (0,0,2). Uma parametrização natural é
r(t) = (0,0,t),\qquad t\in[0,2].
Aqui x(t)=0, y(t)=0, z(t)=t. Isso percorre a reta vertical no eixo z desde z=0 até z=2.

Passo 4

Calcular r'(t) e seu módulo.
Derivando coordenada a coordenada:
r'(t) = (0,0,1).
O módulo (a velocidade) é
\big\|r'(t)\big\| = \sqrt{0^2+0^2+1^2} = 1.
Isso faz sentido: ao parametrizar por t=z, o parâmetro t é exatamente o comprimento ao longo do eixo (velocidade constante igual a 1).

Passo 5

Substituir na fórmula da integral de linha.
Primeiro, avaliar f ao longo da parametrização:
f\big(r(t)\big) = z(t) = t.
Usando a fórmula
\int_{C} f\,ds = \int_{0}^{2} f\big(r(t)\big)\,\big\|r'(t)\big\|\,dt,
temos
\int_{C} f\,ds = \int_{0}^{2} t\cdot 1\,dt = \int_{0}^{2} t\,dt.

Passo 6

Calcular a integral simples.
Integrando:
\int_{0}^{2} t\,dt = \left.\frac{t^{2}}{2}\right|_{0}^{2} = \frac{2^{2}}{2}-\frac{0^{2}}{2} = \frac{4}{2} = 2.

Resposta

2

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