Calcule f(x, y, z)=z C : segmento de reta de ( 0,0,0 ) até ( 0,0,2 ).
Passo 1
O enunciado dá claramente duas coisas:
A função escalar f(x,y,z)=z.
A curva C é o segmento de reta que vai de (0,0,0) até (0,0,2).
O que é pedido: “Calcule” — como o enunciado não especifica mais nada, o uso mais comum para esse tipo de problema é calcular a integral de linha da função escalar ao longo de C, ou seja, o valor de
\int_{C} f(x,y,z)\,ds.
Vou seguir essa interpretação e explicar por que e como calcular passo a passo.
Passo 2
Por que escolher \displaystyle \int_{C} f\,ds?
A função fornecida é escalar (não é um campo vetorial), então a integral de linha natural é a integral escalar em relação ao comprimento de arco ds.
Outra interpretação possível seria apenas avaliar a função ao longo da curva (dar f como função do parâmetro), mas “Calcule” em problemas de cálculo vetorial normalmente refere-se à integral de linha quando uma função escalar e uma curva são dadas.
Portanto vamos calcular
\int_{C} f(x,y,z)\,ds.
Explicando o que é essa integral: se uma curva C é parametrizada por r(t) para t em [a,b], então a integral de uma função escalar f ao longo de C é
Aqui r(t) dá as coordenadas (x(t),y(t),z(t)), r'(t) é a derivada vetorial, e \|r'(t)\| é a velocidade (módulo da derivada), que converte dt em comprimento de arco ds.
Passo 3
Parametrizar a curva C.
O segmento vai de (0,0,0) até (0,0,2). Uma parametrização natural é
r(t) = (0,0,t),\qquad t\in[0,2].
Aqui x(t)=0, y(t)=0, z(t)=t. Isso percorre a reta vertical no eixo z desde z=0 até z=2.
Passo 4
Calcular r'(t) e seu módulo.
Derivando coordenada a coordenada:
r'(t) = (0,0,1).
O módulo (a velocidade) é
\big\|r'(t)\big\| = \sqrt{0^2+0^2+1^2} = 1.
Isso faz sentido: ao parametrizar por t=z, o parâmetro t é exatamente o comprimento ao longo do eixo (velocidade constante igual a 1).