Calcule
: hélice
.
Passo 1
O enunciado nos dá:
- A função escalar
. - A curva
é a hélice parametrizada por , com .
O enunciado diz apenas “Calcule”. Isso pode ser entendido de duas maneiras comuns:
- Avaliar a função ao longo da curva, isto é obter a função composta
. - Calcular a integral de linha de uma função escalar ao longo da curva, isto é
.
Vou tratar ambas: primeiro explico e calculo a avaliação
(é rápido e útil), e depois calculo a integral de linha
, que é o tipo de exercício que costuma aparecer em provas.
Passo 2
Breve lembrete da fórmula que vamos usar (aula rápida):
- Para avaliar a função ao longo da curva, compõe-se a função com a parametrização:
. Aqui , , . - Para calcular a integral de linha de um campo escalar
ao longo de uma curva parametrizada por , usa-se a fórmula
onde
é a norma do vetor velocidade e
. Nesta fórmula:
-
e são os extremos do parâmetro (aqui , ); -
é a função escalar avaliada na curva; -
mede quanto a curva “avança” no espaço por unidade de (é o fator que transforma em comprimento de arco ).
Vou aplicar essas fórmulas passo a passo.
Passo 3
Avaliar a função ao longo da curva (composição):
Usando a identidade trigonométrica básica
, obtemos
Comentário amistoso: bonito e simples — para essa hélice a soma dos quadrados das duas primeiras coordenadas é sempre
.
Passo 4
Calcular
e sua norma (precisamos disso para
):
Agora a norma:
Usando
outra vez:
Observação pedagógica: a norma é constante ao longo da hélice — isso simplifica a integral.
Passo 5
Montar o integrando da integral de linha:
Ou seja, o integrando é uma constante. Agora integraremos entre
e
.
Passo 6
Calcular a integral:
Passo 7
Interpretação final e dica para prova:
- A avaliação da função sobre a curva é simples:
. Isso é útil como primeiro passo em qualquer problema parecido: compõe-se sempre antes de complicar. - A integral de linha de uma função escalar usa a regra
. Quando e são simples/constantes, a integral fica direta. - Dica prática: ao ver
e uma parametrização trigonométrica, verifique sempre se a identidade simplifica a vida — isso acontece frequentemente.