Calcule
f(x, y, z)=x^{2}+y^{2}
C : hélice \mathbf{r}(t)=(\cos t, \sin t, t), 0 \leq t \leq \pi.

Passo 1

O enunciado nos dá:
  • A função escalar f(x,y,z)=x^{2}+y^{2}.
  • A curva C é a hélice parametrizada por \mathbf{r}(t)=(\cos t,\sin t,t), com 0\le t\le\pi.
O enunciado diz apenas “Calcule”. Isso pode ser entendido de duas maneiras comuns:
  1. Avaliar a função ao longo da curva, isto é obter a função composta f(\mathbf{r}(t)).
  2. Calcular a integral de linha de uma função escalar ao longo da curva, isto é \displaystyle\int_{C} f\,ds.
Vou tratar ambas: primeiro explico e calculo a avaliação f(\mathbf{r}(t)) (é rápido e útil), e depois calculo a integral de linha \displaystyle\int_{C} f\,ds, que é o tipo de exercício que costuma aparecer em provas.

Passo 2

Breve lembrete da fórmula que vamos usar (aula rápida):
  • Para avaliar a função ao longo da curva, compõe-se a função com a parametrização: f(\mathbf{r}(t))=f(x(t),y(t),z(t)). Aqui x(t)=\cos t, y(t)=\sin t, z(t)=t.
  • Para calcular a integral de linha de um campo escalar f ao longo de uma curva parametrizada por \mathbf{r}(t), usa-se a fórmula
\int_{C} f\,ds = \int_{a}^{b} f(\mathbf{r}(t))\,\|\mathbf{r}'(t)\|\,dt,
onde \|\mathbf{r}'(t)\| é a norma do vetor velocidade e ds=\|\mathbf{r}'(t)\|\,dt. Nesta fórmula:
  • a e b são os extremos do parâmetro t (aqui a=0, b=\pi);
  • f(\mathbf{r}(t)) é a função escalar avaliada na curva;
  • \|\mathbf{r}'(t)\| mede quanto a curva “avança” no espaço por unidade de t (é o fator que transforma dt em comprimento de arco ds).
Vou aplicar essas fórmulas passo a passo.

Passo 3

Avaliar a função ao longo da curva (composição):
f(\mathbf{r}(t)) = x(t)^2 + y(t)^2 = (\cos t)^2 + (\sin t)^2.
Usando a identidade trigonométrica básica \cos^{2}t+\sin^{2}t=1, obtemos
f(\mathbf{r}(t)) = 1.
Comentário amistoso: bonito e simples — para essa hélice a soma dos quadrados das duas primeiras coordenadas é sempre 1.

Passo 4

Calcular \mathbf{r}'(t) e sua norma (precisamos disso para ds):
\mathbf{r}(t)=(\cos t,\sin t,t)\quad\Rightarrow\quad \mathbf{r}'(t)=(-\sin t,\cos t,1).
Agora a norma:
\|\mathbf{r}'(t)\|=\sqrt{(-\sin t)^{2}+(\cos t)^{2}+1^{2}}=\sqrt{\sin^{2}t+\cos^{2}t+1}.
Usando \sin^{2}t+\cos^{2}t=1 outra vez:
\|\mathbf{r}'(t)\|=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}.
Observação pedagógica: a norma é constante ao longo da hélice — isso simplifica a integral.

Passo 5

Montar o integrando da integral de linha:
f(\mathbf{r}(t))\,\|\mathbf{r}'(t)\| = 1\cdot\sqrt{2}=\sqrt{2}.
Ou seja, o integrando é uma constante. Agora integraremos entre t=0 e t=\pi.

Passo 6

Calcular a integral:
\int_{C} f\,ds = \int_{0}^{\pi} \sqrt{2}\,dt = \sqrt{2}\,\int_{0}^{\pi} dt = \sqrt{2}\,[t]_{0}^{\pi} = \sqrt{2}\,\pi.

Passo 7

Interpretação final e dica para prova:
  • A avaliação da função sobre a curva é simples: f(\mathbf{r}(t))=1. Isso é útil como primeiro passo em qualquer problema parecido: compõe-se sempre antes de complicar.
  • A integral de linha de uma função escalar usa a regra ds=\|\mathbf{r}'(t)\|dt. Quando \|\mathbf{r}'(t)\| e f(\mathbf{r}(t)) são simples/constantes, a integral fica direta.
  • Dica prática: ao ver x^{2}+y^{2} e uma parametrização trigonométrica, verifique sempre se a identidade \cos^{2}+\sin^{2}=1 simplifica a vida — isso acontece frequentemente.

Resposta

f(\mathbf{r}(t))=1
\displaystyle \int_{C} f\,ds = \sqrt{2}\,\pi

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