Calcule f(x, y+h)-f(x, y)h, h neq 0 nos casos em que f(x, y)=x^5-3 x^3 y^2-x+1 e quando f(x, y)=xx-y.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a diferença quociente em relação a y, isto é, f(x,y+h)-f(x,y)h com hneq0, para duas funções diferentes de duas variáveis. Vamos precisar substituir y+h em cada função, expandir e simplificar usando operações algébricas básicas.

Passo 2

Para f(x,y)=x^5-3x^3y^2-x+1, substituímos y+h no lugar de y e expandimos (y+h)^2.
f(x,y+h)=x^5-3x^3(y+h)^2-x+1
Como (y+h)^2=y^2+2yh+h^2, temos
f(x,y+h)=x^5-3x^3l(y^2+2yh+h^2r)-x+1 =x^5-3x^3y^2-6x^3yh-3x^3h^2-x+1

Passo 3

Agora calculamos o numerador da diferença quociente e subtraímos f(x,y)=x^5-3x^3y^2-x+1:
f(x,y+h)-f(x,y)=-6x^3yh-3x^3h^2

Passo 4

Dividindo por h e simplificando, cancelamos um fator h:
f(x,y+h)-f(x,y)h=-6x^3y-3x^3h

Passo 5

Para f(x,y)=xx-y, substituímos y+h em vez de y e formamos a diferença de frações:
f(x,y+h)=xx-y-h, f(x,y)=xx-y
f(x,y+h)-f(x,y)h =xx-y-h-xx-yh

Passo 6

Unimos em único quociente, tendo o mesmo denominador (x-y-h)(x-y):
f(x,y+h)-f(x,y)h =x(x-y)-x(x-y-h)h,(x-y-h)(x-y) =xhh,(x-y-h)(x-y)

Passo 7

Cancelamos h no numerador e denominador, obtendo o resultado final nessa segunda função.

Resposta

Para f(x,y)=x^5-3x^3y^2-x+1:
f(x,y+h)-f(x,y)h=-6x^3y-3x^3h
Para f(x,y)=xx-y:
f(x,y+h)-f(x,y)h=x(x-y)(x-y-h)

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