Calcule f’(z):
f(z)=z^{2}\left(1+z^{-2}\right)^{4}, z \neq 0

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de f em função de z. As informações dadas são:
  • f(z)=z^{2}\left(1+z^{-2}\right)^{4}, com z\neq 0.
  • Precisamos encontrar f'(z), a derivada de f em relação a z.

Passo 2

Primeiro vamos reescrever f(z) numa forma mais conveniente para derivar. Observa que
1+z^{-2}=\frac{z^{2}+1}{z^{2}}.
Logo,
\left(1+z^{-2}\right)^{4}=\frac{(z^{2}+1)^{4}}{z^{8}}.
Multiplicando por z^{2} obtemos
f(z)=z^{2}\cdot\frac{(z^{2}+1)^{4}}{z^{8}}=\frac{(z^{2}+1)^{4}}{z^{6}}.
Para usar regras de derivação de forma direta, escrevo também como potência:
f(z)=(z^{2}+1)^{4}\,z^{-6}.

Passo 3

Vou usar a regra do produto porque f(z) está escrita como produto de duas funções: u(z)=(z^{2}+1)^{4} e v(z)=z^{-6}.
Antes de derivar, lembro rapidamente das regras que vou usar (explicadas de maneira prática):
  • Regra do produto: se f=uv então f'=u'v+uv'. Aqui u e v dependem de z.
  • Regra da cadeia: se u(w(z)) é uma composição, então u'(z)=u'_w(w(z))\cdot w'(z). Exemplo simples: a derivada de (g(z))^{4} é 4(g(z))^{3}\cdot g'(z).
  • Regra da potência para potências de z: a derivada de z^{n} é n z^{n-1} (válido para qualquer real n), por exemplo a derivada de z^{-6} é -6 z^{-7}.

Passo 4

Calculo u'(z) usando a regra da cadeia com u(z)=(z^{2}+1)^{4}.
  • A derivada exterior de w\mapsto w^{4} é 4w^{3}.
  • A derivada de w(z)=z^{2}+1 é 2z.
    Portanto,
u'(z)=4(z^{2}+1)^{3}\cdot 2z=8z\,(z^{2}+1)^{3}.
Calculo v'(z) usando a regra da potência com v(z)=z^{-6}:
v'(z)=-6 z^{-7}.

Passo 5

Agora aplico a regra do produto f'=u'v+uv':
f'(z)=\bigl(8z\,(z^{2}+1)^{3}\bigr)\cdot z^{-6} + (z^{2}+1)^{4}\cdot\bigl(-6 z^{-7}\bigr).

Passo 6

Vamos simplificar termo a termo. Primeiro termo:
8z\,(z^{2}+1)^{3}\cdot z^{-6}=8 z^{-5}(z^{2}+1)^{3},
pois z\cdot z^{-6}=z^{-5}.
Segundo termo:
-6 z^{-7}(z^{2}+1)^{4}.
Ambos os termos têm um fator comum (z^{2}+1)^{3} e uma potência de z. Vou fatorar z^{-7}(z^{2}+1)^{3}. Para isso escrevo o primeiro termo como
8 z^{-5}(z^{2}+1)^{3}=8 z^{2}\cdot z^{-7}(z^{2}+1)^{3},
pois z^{-5}=z^{2}\cdot z^{-7}. O segundo termo já é -6 z^{-7}(z^{2}+1)^{4}=-6 z^{-7}(z^{2}+1)^{3}(z^{2}+1).

Passo 7

Fatorando z^{-7}(z^{2}+1)^{3} em comum:
f'(z)=z^{-7}(z^{2}+1)^{3}\bigl(8z^{2}-6(z^{2}+1)\bigr).
Agora simplifico o parêntese:
8z^{2}-6(z^{2}+1)=8z^{2}-6z^{2}-6=2z^{2}-6=2(z^{2}-3).
Portanto
f'(z)=2(z^{2}-3)(z^{2}+1)^{3}z^{-7}.
Posso reescrever de forma mais direta como
f'(z)=\frac{2\,(z^{2}-3)(z^{2}+1)^{3}}{z^{7}},
lembrando que z\neq 0.

Resposta

f'(z)=\frac{2\,(z^{2}-3)(z^{2}+1)^{3}}{z^{7}}

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