Calcule f’(z):
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada de
em função de
. As informações dadas são:
-
, com . - Precisamos encontrar
, a derivada de em relação a .
Passo 2
Primeiro vamos reescrever
numa forma mais conveniente para derivar. Observa que
Logo,
Multiplicando por
obtemos
Para usar regras de derivação de forma direta, escrevo também como potência:
Passo 3
Vou usar a regra do produto porque
está escrita como produto de duas funções:
e
.
Antes de derivar, lembro rapidamente das regras que vou usar (explicadas de maneira prática):
- Regra do produto: se
então . Aqui e dependem de . - Regra da cadeia: se
é uma composição, então . Exemplo simples: a derivada de é . - Regra da potência para potências de
: a derivada de é (válido para qualquer real ), por exemplo a derivada de é .
Passo 4
Calculo
usando a regra da cadeia com
.
- A derivada exterior de
é . - A derivada de
é .
Portanto,
Calculo
usando a regra da potência com
:
Passo 5
Agora aplico a regra do produto
:
Passo 6
Vamos simplificar termo a termo. Primeiro termo:
pois
.
Segundo termo:
Ambos os termos têm um fator comum
e uma potência de
. Vou fatorar
. Para isso escrevo o primeiro termo como
pois
. O segundo termo já é
.
Passo 7
Fatorando
em comum:
Agora simplifico o parêntese:
Portanto
Posso reescrever de forma mais direta como
lembrando que
.