Calcule, usando as propriedades, os limites abaixo:
\lim _{z \rightarrow z^{\circ}} \frac{P(z)}{Q(z)}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{z\to z^{\circ}} \frac{P(z)}{Q(z)}
onde P e Q são funções dadas pelo exercício. As informações que temos (implícitas no enunciado) e que vou usar são:
  • P e Q são funções para as quais faz sentido falar em zeros e em avaliação em pontos (na prática, tipicamente polinômios ou funções diferenciáveis).
  • O ponto de interesse é z^{\circ}.
  • Não há valores numéricos fornecidos, então o objetivo é dar uma regra geral (usando propriedades) para calcular esse limite a partir do comportamento de P e Q em z^{\circ}.

Passo 2

Primeira ideia simples: testar substituição direta. Isso vem da propriedade de continuidade (explico a seguir). Se Q(z^{\circ})\neq 0, então tanto P quanto Q são finitas em z^{\circ} e podemos simplesmente substituir:
\lim_{z\to z^{\circ}} \frac{P(z)}{Q(z)} = \frac{P(z^{\circ})}{Q(z^{\circ})}.
A razão é a propriedade: se f e g são contínuas em a e g(a)\neq 0, então \lim_{x\to a} f(x)/g(x)=f(a)/g(a). Polinômios e funções diferenciáveis são contínuos, por isso esta regra vale para eles. Exemplo rápido: se P(z)=z^2+1, Q(z)=z-2 e z^{\circ}=3, então o limite é (3^2+1)/(3-2)=10.

Passo 3

Agora o caso crítico: Q(z^{\circ})=0. Aqui há subcasos importantes segundo o comportamento das ordens dos zeros de P e Q em z^{\circ}. Para formalizar isso, escrevemos (quando possível) fatorizações locais:
P(z)=(z-z^{\circ})^{m}\,p(z),\qquad Q(z)=(z-z^{\circ})^{n}\,q(z),
onde m,n são inteiros não-negativos (a multiplicidade do zero de cada função em z^{\circ}) e as funções p e q satisfazem p(z^{\circ})\neq 0 e q(z^{\circ})\neq 0. Isso é sempre possível para polinômios e, mais geralmente, para funções analíticas ou diferenciáveis com zeros isolados.

Passo 4

Usando a fatoração do passo anterior, reescrevemos a fração e simplificamos:
\frac{P(z)}{Q(z)}=\frac{(z-z^{\circ})^{m}\,p(z)}{(z-z^{\circ})^{n}\,q(z)}=(z-z^{\circ})^{m-n}\,\frac{p(z)}{q(z)}.
Agora avaliamos o limite segundo o valor de m-n.

Passo 5

Caso m>n. Então m-n\ge 1 e a expressão contém um fator (z-z^{\circ})^{m-n} que tende a 0 quando z\to z^{\circ}. Como p(z) e q(z) são contínuas em z^{\circ} e q(z^{\circ})\neq 0, o quociente p(z)/q(z) tende a p(z^{\circ})/q(z^{\circ}) (finito e não nulo). Logo
\lim_{z\to z^{\circ}} \frac{P(z)}{Q(z)} = 0\qquad\text{se }m>n.
Intuição: o numerador tem um zero de ordem maior que o denominador, então ele “anula” mais rápido e o quociente vai a zero.

Passo 6

Caso m=n. Então o fator (z-z^{\circ})^{m-n} some (é (z-z^{\circ})^{0}=1) e ficamos com
\lim_{z\to z^{\circ}} \frac{P(z)}{Q(z)} = \lim_{z\to z^{\circ}} \frac{p(z)}{q(z)} = \frac{p(z^{\circ})}{q(z^{\circ})},
pois p e q são contínuas e q(z^{\circ})\neq 0. Em termos dos coeficientes das fatorações, o limite é o quociente dos valores não nulos restantes em z^{\circ}. Exemplo: se P(z)=(z-1)^2(2z+3) e Q(z)=(z-1)^2(z^2+1) em z^{\circ}=1, então o limite é (2\cdot1+3)/(1^2+1)=5/2.

Passo 7

Caso m<n. Então m-n\le -1 e (z-z^{\circ})^{m-n}=(z-z^{\circ})^{-(n-m)} tende a infinito em módulo quando z\to z^{\circ} (porque estamos dividindo por uma potência de algo que tende a zero). Assim:
  • Se estamos no contexto de variáveis complexas, o módulo do quociente tende a +\infty, ou seja, o limite é infinito em módulo e não há um número complexo finito como limite.
  • Se estamos no contexto de variáveis reais, o limite pode ser +\infty, -\infty ou não existir (dependendo dos sinais e da paridade de n-m) — aí é preciso analisar o comportamento à direita e à esquerda do ponto.
    Resumindo de forma prática:
\lim_{z\to z^{\circ}} \frac{P(z)}{Q(z)} = \infty\quad\text{(em módulo) se }m<n.ó

Passo 8

Outra ferramenta útil quando P(z^{\circ})=Q(z^{\circ})=0 e não se quer fatorar explicitamente é a Regra de L’Hôpital (quando as funções são diferenciáveis numa vizinhança de z^{\circ}). A regra diz que se obtemos a forma indeterminada 0/0 e P e Q são diferenciáveis com Q'(z)\neq 0 perto do ponto (exceto possivelmente em z^{\circ}), então
\lim_{z\to z^{\circ}} \frac{P(z)}{Q(z)} = \lim_{z\to z^{\circ}} \frac{P'(z)}{Q'(z)},
quando o limite do lado direito existir (ou for \pm\infty). Se ainda for 0/0, pode-se aplicar L’Hôpital repetidas vezes. Isso corresponde na prática a “cortar” fatores (z-z^{\circ}) sucessivamente até que as ordens fiquem iguais ou até que o denominador deixe de ser zero. Exemplo: para \lim_{x\to 0}\sin x / x aplicamos L’Hôpital (ou reconhecemos séries) e obtemos 1.

Passo 9

Resumo do procedimento prático (passo a passo que eu usaria na prova):
  1. Calcular P(z^{\circ}) e Q(z^{\circ}).
  2. Se Q(z^{\circ})\neq 0, responder \dfrac{P(z^{\circ})}{Q(z^{\circ})}.
  3. Se Q(z^{\circ})=0 e P(z^{\circ})\neq 0, concluir que o limite diverge para infinito em módulo (ou para +\infty/ -\infty no caso real, analisando sinais).
  4. Se P(z^{\circ})=Q(z^{\circ})=0, procurar as multiplicidades m e n (fatorando ou derivando):
    • Se m>n então limite =0.
    • Se m=n então limite =p(z^{\circ})/q(z^{\circ}) (quociente dos fatores não nulos).
    • Se m<n então limite diverge (infinito em módulo).
  5. Alternativa prática: aplicar L’Hôpital repetidas vezes até eliminar a indeterminação 0/0.

Resposta

Se Q(z^{\circ})\neq 0: \displaystyle \frac{P(z^{\circ})}{Q(z^{\circ})}.
Se P(z^{\circ})\neq 0 e Q(z^{\circ})=0: limite diverge (infinito em módulo; no caso real analisar sinais para +\infty/ -\infty).
Se P(z)= (z-z^{\circ})^{m}p(z) e Q(z)=(z-z^{\circ})^{n}q(z) com p(z^{\circ})\neq 0, q(z^{\circ})\neq 0:
\displaystyle
Se m>n: 0.
\displaystyle
Se m=n: \displaystyle \frac{p(z^{\circ})}{q(z^{\circ})}.
\displaystyle
Se m<n: limite diverge (infinito em módulo).

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