Calcule, usando as propriedades, os limites abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para calcular
onde
e
são funções dadas pelo exercício. As informações que temos (implícitas no enunciado) e que vou usar são:
-
e são funções para as quais faz sentido falar em zeros e em avaliação em pontos (na prática, tipicamente polinômios ou funções diferenciáveis). - O ponto de interesse é
. - Não há valores numéricos fornecidos, então o objetivo é dar uma regra geral (usando propriedades) para calcular esse limite a partir do comportamento de
e em .
Passo 2
Primeira ideia simples: testar substituição direta. Isso vem da propriedade de continuidade (explico a seguir). Se
, então tanto
quanto
são finitas em
e podemos simplesmente substituir:
A razão é a propriedade: se
e
são contínuas em
e
, então
. Polinômios e funções diferenciáveis são contínuos, por isso esta regra vale para eles. Exemplo rápido: se
,
e
, então o limite é
.
Passo 3
Agora o caso crítico:
. Aqui há subcasos importantes segundo o comportamento das ordens dos zeros de
e
em
. Para formalizar isso, escrevemos (quando possível) fatorizações locais:
onde
são inteiros não-negativos (a multiplicidade do zero de cada função em
) e as funções
e
satisfazem
e
. Isso é sempre possível para polinômios e, mais geralmente, para funções analíticas ou diferenciáveis com zeros isolados.
Passo 4
Usando a fatoração do passo anterior, reescrevemos a fração e simplificamos:
Agora avaliamos o limite segundo o valor de
.
Passo 5
Caso
. Então
e a expressão contém um fator
que tende a
quando
. Como
e
são contínuas em
e
, o quociente
tende a
(finito e não nulo). Logo
Intuição: o numerador tem um zero de ordem maior que o denominador, então ele “anula” mais rápido e o quociente vai a zero.
Passo 6
Caso
. Então o fator
some (é
) e ficamos com
pois
e
são contínuas e
. Em termos dos coeficientes das fatorações, o limite é o quociente dos valores não nulos restantes em
. Exemplo: se
e
em
, então o limite é
.
Passo 7
Caso
. Então
e
tende a infinito em módulo quando
(porque estamos dividindo por uma potência de algo que tende a zero). Assim:
- Se estamos no contexto de variáveis complexas, o módulo do quociente tende a
, ou seja, o limite é infinito em módulo e não há um número complexo finito como limite. - Se estamos no contexto de variáveis reais, o limite pode ser
, ou não existir (dependendo dos sinais e da paridade de ) — aí é preciso analisar o comportamento à direita e à esquerda do ponto.
Resumindo de forma prática:
Passo 8
Outra ferramenta útil quando
e não se quer fatorar explicitamente é a Regra de L’Hôpital (quando as funções são diferenciáveis numa vizinhança de
). A regra diz que se obtemos a forma indeterminada
e
e
são diferenciáveis com
perto do ponto (exceto possivelmente em
), então
quando o limite do lado direito existir (ou for
). Se ainda for
, pode-se aplicar L’Hôpital repetidas vezes. Isso corresponde na prática a “cortar” fatores
sucessivamente até que as ordens fiquem iguais ou até que o denominador deixe de ser zero. Exemplo: para
aplicamos L’Hôpital (ou reconhecemos séries) e obtemos
.
Passo 9
Resumo do procedimento prático (passo a passo que eu usaria na prova):
- Calcular
e . - Se
, responder . - Se
e , concluir que o limite diverge para infinito em módulo (ou para / no caso real, analisando sinais). - Se
, procurar as multiplicidades e (fatorando ou derivando): - Se
então limite . - Se
então limite (quociente dos fatores não nulos). - Se
então limite diverge (infinito em módulo).
- Se
- Alternativa prática: aplicar L’Hôpital repetidas vezes até eliminar a indeterminação
.
Resposta
Se
:
Se
e
: limite diverge (infinito em módulo; no caso real analisar sinais para
/
).
Se
e
com
,
:
Se :
.
Se :
.
Se : limite diverge (infinito em módulo).
Se
Se
Se