Use as equações de C.R., para verificar qual é analítica e em que domínio. Em caso positivo, determine f^{\prime}(z):
f(z)=e^{-x}(\cos y-i \operatorname{sen} y)

Passo 1

O enunciado dá a função
f(z)=e^{-x}\big(\cos y - i\,\operatorname{sen} y\big),
e pede para verificar, usando as equações de Cauchy–Riemann, se f é analítica e em que domínio. Em caso afirmativo, determinar f^{\prime}(z).
Informações importantes fornecidas:
f(z)=e^{-x}(\cos y - i\sin y).
Perguntas que o enunciado faz:
  1. f é analítica? Se sim, em que domínio (por exemplo, todo \mathbb{C} ou um subconjunto)?
  2. Se for analítica, qual é f^{\prime}(z)?

Passo 2

Separemos f nas suas partes real e imaginária. Escrevendo f=u(x,y)+i\,v(x,y), temos:
u(x,y)=e^{-x}\cos y,
v(x,y)=-e^{-x}\sin y.
Comentário rápido e útil: eu troquei \operatorname{sen} y por \sin y porque são a mesma função trigonométrica, só uso a notação \sin para ficar em TeX padrão.

Passo 3

Relembrando as equações de Cauchy–Riemann (CR) e a condição de diferenciabilidade complexa por esse critério:
Se u e v têm derivadas parciais contínuas numa vizinhança de um ponto e satisfazem
u_x = v_y
u_y = -v_x,
então f é complexamente diferenciável nesse ponto (isto é, é holomorfa ali). Além disso, se as parciais são contínuas e as CR se verificam em todo um conjunto aberto, f é analítica nesse conjunto. Também, se as CR valem, a derivada é dada por
f'(z)=u_x + i\,v_x.
Vou usar essas fórmulas explicitamente nas próximas etapas. Aqui eu explico o que cada símbolo significa: u_x é a derivada parcial de u em relação a x, u_y a parcial em relação a y, e o mesmo para v_x,v_y.

Passo 4

Calculemos as derivadas parciais de u e v. Vou mostrar passo a passo cada derivada usando regras básicas (regra do produto e cadeia, mas aqui é simples porque e^{-x} depende só de x e \cos y,\sin y só de y).
Derivadas de u(x,y)=e^{-x}\cos y:
u_x = \frac{\partial}{\partial x}\big(e^{-x}\cos y\big) = \big(\frac{d}{dx}e^{-x}\big)\cos y = -e^{-x}\cos y.
u_y = \frac{\partial}{\partial y}\big(e^{-x}\cos y\big) = e^{-x}\big(\frac{d}{dy}\cos y\big) = e^{-x}(-\sin y) = -e^{-x}\sin y.
Derivadas de v(x,y)=-e^{-x}\sin y:
v_x = \frac{\partial}{\partial x}\big(-e^{-x}\sin y\big) = -\big(\frac{d}{dx}e^{-x}\big)\sin y = -(-e^{-x})\sin y = e^{-x}\sin y.
v_y = \frac{\partial}{\partial y}\big(-e^{-x}\sin y\big) = -e^{-x}\big(\frac{d}{dy}\sin y\big) = -e^{-x}\cos y.

Passo 5

Agora verifiquemos as equações de Cauchy–Riemann comparando as derivadas:
u_x = -e^{-x}\cos y,\qquad v_y = -e^{-x}\cos y.
Logo u_x = v_y é verdade para todos os (x,y).
E
u_y = -e^{-x}\sin y,\qquad -v_x = -\big(e^{-x}\sin y\big) = -e^{-x}\sin y.
Logo u_y = -v_x também é verdade para todos os (x,y).
Portanto as equações de Cauchy–Riemann são satisfeitas em todo o plano (x,y).

Passo 6

Precisamos também da continuidade das derivadas parciais para concluir analiticidade. As funções envolvidas são combinações de exponencial e funções trigonométricas (por exemplo, e^{-x}\cos y), cujas derivadas parciais são contínuas em todo \mathbb{R}^2. Assim, as parciais são contínuas em todo \mathbb{R}^2 e as CR valem em todo \mathbb{R}^2. Consequentemente, f é analítica (holomorfa) em todo o plano complexo \mathbb{C}. Em termos curtos: f é uma função inteira.
Um comentário intuitivo/rápido: se você observar, \displaystyle f(z)=e^{-x}(\cos y - i\sin y)=e^{-x-i y}=e^{-z}, então já era de se esperar que f fosse inteira, pois a exponencial é inteira. Vou usar esse fato adiante para conferir o resultado da derivada.

Passo 7

Calculemos f^{\prime}(z) usando a fórmula f'(z)=u_x + i\,v_x. Substituindo as derivadas que encontramos:
f'(z)=u_x + i\,v_x = -e^{-x}\cos y + i\big(e^{-x}\sin y\big).
Fatorando e^{-x}:
f'(z)=e^{-x}\big(-\cos y + i\sin y\big).
Podemos reescrever -\cos y + i\sin y = -(\cos y - i\sin y), então
f'(z) = -e^{-x}\big(\cos y - i\sin y\big) = -f(z).

Passo 8

Checagem alternativa (mais curta): como notei antes,
f(z)=e^{-x-i y}=e^{-z}.
Sabemos que \frac{d}{dz}e^{-z}=-e^{-z}. Assim
f'(z)=-e^{-z}=-f(z),
o que coincide com o resultado do cálculo via equações de Cauchy–Riemann.

Passo 9

Conclusão final (motivacional): portanto f satisfaz as equações de Cauchy–Riemann em todo o plano e tem derivadas parciais contínuas, então é analítica em todo \mathbb{C}. A derivada é simples e elegante: f'(z)=-f(z). Se ficastes nervoso, relaxa — aqui o resultado foi bonito e direto: exponencial com sinal trocado.

Resposta

f é analítica em todo \mathbb{C} (função inteira).\n
f'(z)=-e^{-x}(\cos y - i\sin y) = -f(z).

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