Use as equações de C.R., para verificar qual é analítica e em que domínio. Em caso positivo, determine
:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para verificar, usando as equações de Cauchy–Riemann, se
é analítica e em que domínio. Em caso afirmativo, determinar
.
Informações importantes fornecidas:
Perguntas que o enunciado faz:
-
é analítica? Se sim, em que domínio (por exemplo, todo ou um subconjunto)? - Se for analítica, qual é
?
Passo 2
Separemos
nas suas partes real e imaginária. Escrevendo
, temos:
Comentário rápido e útil: eu troquei
por
porque são a mesma função trigonométrica, só uso a notação
para ficar em TeX padrão.
Passo 3
Relembrando as equações de Cauchy–Riemann (CR) e a condição de diferenciabilidade complexa por esse critério:
Se e
têm derivadas parciais contínuas numa vizinhança de um ponto e satisfazem
Se
então
é complexamente diferenciável nesse ponto (isto é, é holomorfa ali). Além disso, se as parciais são contínuas e as CR se verificam em todo um conjunto aberto,
é analítica nesse conjunto. Também, se as CR valem, a derivada é dada por
Vou usar essas fórmulas explicitamente nas próximas etapas. Aqui eu explico o que cada símbolo significa:
é a derivada parcial de
em relação a
,
a parcial em relação a
, e o mesmo para
.
Passo 4
Calculemos as derivadas parciais de
e
. Vou mostrar passo a passo cada derivada usando regras básicas (regra do produto e cadeia, mas aqui é simples porque
depende só de
e
só de
).
Derivadas de
:
Derivadas de
:
Passo 5
Agora verifiquemos as equações de Cauchy–Riemann comparando as derivadas:
Logo
é verdade para todos os
.
E
Logo
também é verdade para todos os
.
Portanto as equações de Cauchy–Riemann são satisfeitas em todo o plano
.
Passo 6
Precisamos também da continuidade das derivadas parciais para concluir analiticidade. As funções envolvidas são combinações de exponencial e funções trigonométricas (por exemplo,
), cujas derivadas parciais são contínuas em todo
. Assim, as parciais são contínuas em todo
e as CR valem em todo
. Consequentemente,
é analítica (holomorfa) em todo o plano complexo
. Em termos curtos:
é uma função inteira.
Um comentário intuitivo/rápido: se você observar,
, então já era de se esperar que
fosse inteira, pois a exponencial é inteira. Vou usar esse fato adiante para conferir o resultado da derivada.
Passo 7
Calculemos
usando a fórmula
. Substituindo as derivadas que encontramos:
Fatorando
:
Podemos reescrever
, então
Passo 8
Checagem alternativa (mais curta): como notei antes,
Sabemos que
. Assim
o que coincide com o resultado do cálculo via equações de Cauchy–Riemann.
Passo 9
Conclusão final (motivacional): portanto
satisfaz as equações de Cauchy–Riemann em todo o plano e tem derivadas parciais contínuas, então é analítica em todo
. A derivada é simples e elegante:
. Se ficastes nervoso, relaxa — aqui o resultado foi bonito e direto: exponencial com sinal trocado.