Calcule, usando as propriedades, os limites abaixo:
\lim _{z \rightarrow 0} \frac{(1+z)^{1 / 4}-1}{z} \quad sug. Use a^{4}-b^{4}=(a-b)\left(a^{3}+a^{2} b+a b^{2}+b^{3}\right)

Passo 1

O problema pede calcular o limite
\lim_{z\to 0}\frac{(1+z)^{1/4}-1}{z}.
O enunciado sugere usar a igualdade
a^{4}-b^{4}=(a-b)\left(a^{3}+a^{2}b+ab^{2}+b^{3}\right).
Nenhuma outra informação ou figura foi fornecida.

Passo 2

Vamos introduzir as substituições naturais que fazem a identidade sugerida aparecer de forma direta:
a=(1+z)^{1/4},\qquad b=1.
Com essas definições temos
a^{4}-b^{4}=(1+z)-1=z.
A identidade sugerida escreve esse mesmo lado esquerdo como
a^{4}-b^{4}=(a-b)\left(a^{3}+a^{2}b+ab^{2}+b^{3}\right).

Passo 3

Multiplicando os dois lados pela identidade e resolvendo para a-b obtemos
a-b=\frac{a^{4}-b^{4}}{a^{3}+a^{2}b+ab^{2}+b^{3}}=\frac{z}{a^{3}+a^{2}b+ab^{2}+b^{3}}.
Mas a-b=(1+z)^{1/4}-1, portanto a expressão do limite fica
\frac{(1+z)^{1/4}-1}{z}=\frac{1}{a^{3}+a^{2}b+ab^{2}+b^{3}}.

Passo 4

Agora vamos estudar o comportamento quando z\to 0. Como a=(1+z)^{1/4} e a função t\mapsto t^{1/4} é contínua em t=1, segue que
\lim_{z\to 0}a=\lim_{z\to 0}(1+z)^{1/4}=1.
Além disso b=1 é constante. Pelo teorema do limite para soma e produto (continuidade), o denominador da expressão do Passo 3 tende a
\lim_{z\to 0}\bigl(a^{3}+a^{2}b+ab^{2}+b^{3}\bigr)=1^{3}+1^{2}\cdot1+1\cdot1^{2}+1^{3}=4.

Passo 5

Como o denominador tende para 4\neq 0, podemos trocar limite e recíproco, obtendo
\lim_{z\to 0}\frac{(1+z)^{1/4}-1}{z}=\frac{1}{4}.

Resposta

\tfrac{1}{4}

Exercícios relacionados