Calcule o fator de empacotamento atômico para o cristal de NaCl (célula unitária CFC ). Compare este resultado com uma estrutura CFC de um metal.

Passo 1

Resumo do enunciado e conteúdo
O enunciado pede para calcular o fator de empacotamento atômico (APF) da estrutura de NaCl, que é uma célula unitária de tipo cúbica de face centrada (CFC) para os ânions C l^-, com cátions N a^+ ocupando os sítios octaédricos. O APF é definido como a razão entre o volume total dos íons (tratados como esferas duras) presentes na célula unitária e o volume da própria célula unitária. Vamos usar contagem de íons por célula, geometria da célula CFC e a relação entre parâmetro de rede e raios iônicos.

Passo 2

Contagem de íons por célula unitária
Em NaCl, temos:
– N a^+ nos sítios octaédricos: 4 íons efetivos por célula unitária.
– C l^- na rede CFC: 4 íons efetivos por célula unitária.
Logo, o número total de íons é 4+4=8.

Passo 3

Expressão do volume total de íons
Tratamos cada íon como esfera de raio rNa ou rCl. O volume total dos 8 íons é
Víons ;=; 4cdot4pi3rNa^3;+;4cdot4pi3rCl^3 ;=;16pi3l(rNa^3+rCl^3r) í

Passo 4

Parâmetro de rede e volume da célula
Na estrutura de NaCl, cada ligação Na–Cl ao longo da aresta da célula faz com que
a ;=; 2l(rNa + rClr)
Logo, o volume da célula unitária é
Vcélula ;=; a^3 ;=;l[,2(rNa+rCl)r]^3 é

Passo 5

Fator de empacotamento atômico (APF)
Por definição,
APF =VíonsVcélula =16pi3(rNa^3+rCl^3) l[2(rNa+rCl)r]^3 =2pi3, rNa^3+rCl^3(rNa+rCl)^3 íé
Para NaCl considera-se a razão rNa/rCl=0,5. Definindo k=0,5 e rCl=R, temos
rNa^3+rCl^3(rNa+rCl)^3 =k^3+1(k+1)^3 =0,5^3+11,5^3 =0,125+13,375 =1,1253,375 =13
Portanto,
APFrm NaCl =2pi3cdot13 =2pi9 approx0,698

Passo 6

Comparação com estrutura CFC de metal
Uma estrutura CFC simples (metal) tem
APFrm CFC=piraiz26approx0,740
Concluímos que o empacotamento em NaCl ( approx0,698) é ligeiramente menor do que num metal CFC ( approx0,740).

Resposta

O fator de empacotamento atômico de NaCl é
APFrm NaCl=2pi9approx0,698,
que é menor que o APFapprox0,740 de uma estrutura CFC metálica.

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