(a) Calcule o fator de empacotamento atômico para as estruturas CS, CCC e CFC e mostre a diferença de volume entre elas.
(b) Os metais tem preferência por se cristalizar nestes três tipos de células de Bravais. Verdadeiro ou falso. Justifique a resposta.

Passo 1

O enunciado pede o fator de empacotamento atômico (APF, do inglês atomic packing factor) para as estruturas cúbicas simples (CS), cúbica de corpo centrado (CCC) e cúbica de faces centradas (CFC), e quer que a gente mostre como esses volumes empacotados diferem. Depois, pergunta se os metais preferem cristalizar nesses três tipos de células de Bravais.

Passo 2

O fator de empacotamento atômico eta é definido como
eta = volume total dos átomos na célulavolume da célula unitária áééá
Em cada caso precisamos ( 1) saber quantos átomos efetivos há na célula ( N), ( 2) a relação entre o parâmetro de rede a e o raio atômico r, ( 3) o volume da célula a^3 e ( 4) o volume de um átomo, tfrac43pi r^3.

Passo 3

Estrutura cúbica simples (CS):
  • Número de átomos por célula: N=1.
  • Átomos tocam-se ao longo da aresta, então a = 2r.
  • Volume da célula: a^3 = (2r)^3 = 8,r^3
  • Volume ocupado pelos átomos: Ncdot43pi r^3 = 43pi r^3
  • Logo etarm CS = tfrac43pi r^38,r^3 = pi6approx0,524

Passo 4

Estrutura cúbica de corpo centrado (CCC ou BCC):
  • Número de átomos por célula: N=2.
  • Átomos tocam-se ao longo da diagonal do cubo: 4r = raiz3,a, logo a = tfrac4rraiz3.
  • Volume da célula: a^3 = l(tfrac4rraiz3r)^3 = 64,r^33raiz3
  • Volume ocupado: 2cdot43pi r^3 = 83,pi r^3
  • Logo etarm CCC = tfrac83pi r^3tfrac643raiz3r^3 = piraiz38approx0,680

Passo 5

Estrutura cúbica de faces centradas (CFC ou FCC):
  • Número de átomos por célula: N=4.
  • Átomos tocam-se ao longo da face: 4r = raiz2,a, logo a = tfrac4rraiz2 = 2raiz2,r.
  • Volume da célula: a^3 = (2raiz2,r)^3 = 16raiz2,r^3
  • Volume ocupado: 4cdot43pi r^3 = 163,pi r^3
  • Logo etarm CFC = tfrac163pi r^316raiz2,r^3 = pi3raiz2approx0,740

Passo 6

Comparando os fatores de empacotamento:
etarm CSapprox0,524, etarm CCCapprox0,680, etarm CFCapprox0,740
Isso mostra que, para o mesmo raio atômico, a fração de volume efetivamente ocupada por matéria aumenta na ordem CS < CCC < CFC. A diferença principal é que a célula CFC é a mais densa (apoio a maior quantidade de átomos por volume) e a CS a mais escassa.

Passo 7

(b) “Os metais têm preferência por se cristalizar nestes três tipos de células de Bravais.”
Resposta: Falso.
Justificativa:
Muitos metais cristalizam em CFC (ex.: Cu, Al, Au) ou em CCC (ex.: Fe alpha, Cr, W), mas a estrutura cúbica simples é raríssima (apenas elementos muito específicos, como o polônio puro). Além disso, um grande número de metais adota a estrutura hexagonal compacta (HCP), que não é cúbica. Portanto não é correto afirmar que metais preferem CS, CCC e CFC em conjunto.

Resposta

(a)
etarm CS=pi6approx0,524, etarm CCC=piraiz38approx0,680, etarm CFC=pi3raiz2approx0,740
(b) Falso. Metais cristalizam principalmente em CFC, CCC ou HCP; a estrutura cúbica simples é praticamente inexistente entre eles.

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