Quest. 2. O ferro (Fe) passa por uma transformação alotrópica a
com o aquecimento, passa de uma estrutura CCC (fase
) a uma estrutura CFC (fase
). Essa transformação vem acompanhada de uma mudança no raio atômico do Fe, de RCCC = 0,12584 nm para RCFC
, e, ainda, de uma alteração na massa específica (e no volume).
a) Calcule a variação de volume teórica, que acompanha a transformação polimórfica do ferro puro da estrutura cristalina CFC para a estrutura cristalina CCC do Feode Feү. Considere a massa constante.
b) Determine Fator Empacotamento Atômico (FEA) para ambos os casos.
a) Calcule a variação de volume teórica, que acompanha a transformação polimórfica do ferro puro da estrutura cristalina CFC para a estrutura cristalina CCC do Feode Feү. Considere a massa constante.
b) Determine Fator Empacotamento Atômico (FEA) para ambos os casos.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- (a) Calcular a variação de volume teórica quando o ferro passa da estrutura CFC (fase
) para a estrutura CCC (fase ), assumindo massa constante. - (b) Determinar o Fator Empacotamento Atômico (FEA) para ambas as estruturas (CFC e CCC).
Informações fornecidas no enunciado que vou usar:
- raio atômico na fase CCC:
(peguei esse dado no enunciado), - raio atômico na fase CFC:
(peguei esse dado no enunciado).
Observações úteis (não resolvo ainda, só anoto):
- para CCC (cúbica de corpo centrado, BCC) o número de átomos por cela é
; - para CFC (cúbica de face centrada, FCC) o número de átomos por cela é
.
Passo 2
Definir como relacionar raio atômico
com parâmetro de rede
(lado da cela cúbica) e como obter volumes por átomo:
- Explicação física: o volume ocupado por um átomo idealizado é o volume da esfera de raio
. O volume da cela unitária cúbica é . O volume médio por átomo é , com = número de átomos por cela. Como a massa é constante, a variação de volume relativa é obtida comparando nas duas fases. - Relações geométricas (derivadas da posição dos átomos na cela):
- Para BCC (CCC): os átomos se tocam ao longo da diagonal do cubo que passa pelo centro; a distância centro-canto é
, e essa distância é . Logo - Para FCC (CFC): os átomos se tocam ao longo da diagonal da face; a diagonal da face vale
e equivale a . Logo
- Para BCC (CCC): os átomos se tocam ao longo da diagonal do cubo que passa pelo centro; a distância centro-canto é
- Fórmula do volume por átomo:
Passo 3
Calcular os parâmetros de rede numéricos usando os raios dados (aqui faço as contas passo a passo; todas as quantidades em
):
- Para CCC (BCC):
Primeiro . Como , - Para CFC (FCC):
Primeiro . Como ,
Passo 4
Calcular volumes das celas e volume por átomo:
- Volume da cela:
- Volume por átomo (massa constante implica comparar volumes por átomo):
Passo 5
Calcular a variação de volume relativa (passagem de CFC para CCC). Defino a variação percentual como
Substituindo os valores:
Interpretação: a transformação de CFC
CCC leva a um aumento do volume de aproximadamente
(considerando massa constante e usando os raios fornecidos).
Passo 6
Agora calculo o Fator Empacotamento Atômico (FEA) para cada estrutura — primeiro explico o conceito e a fórmula:
- Definição:
. - Volume de uma esfera de raio
: . - Portanto
Mas podemos obter valores analíticos que não dependem de
substituindo
em função de
.
Passo 7
Derivar FEA analítico e calcular numericamente:
- Para BCC (CCC):
, . Então Valor numérico: - Para FCC (CFC):
, . Então Valor numérico:
Comentários amigos: esses valores são constantes geométricas — FCC/HCP empacotam melhor (74%) que BCC (≈68%).
Resposta
(a)
(aumento de volume ao passar de CFC para CCC).
(b)
(74{,}05%) \
(68{,}02%).