Quest. 2. O ferro (Fe) passa por uma transformação alotrópica a 912^{\circ} \mathrm{C} com o aquecimento, passa de uma estrutura CCC (fase \alpha ) a uma estrutura CFC (fase \gamma ). Essa transformação vem acompanhada de uma mudança no raio atômico do Fe, de RCCC = 0,12584 nm para RCFC =0,12894 \mathrm{~nm}, e, ainda, de uma alteração na massa específica (e no volume).
a) Calcule a variação de volume teórica, que acompanha a transformação polimórfica do ferro puro da estrutura cristalina CFC para a estrutura cristalina CCC do Feode Feү. Considere a massa constante.
b) Determine Fator Empacotamento Atômico (FEA) para ambos os casos.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • (a) Calcular a variação de volume teórica quando o ferro passa da estrutura CFC (fase \gamma) para a estrutura CCC (fase \alpha), assumindo massa constante.
  • (b) Determinar o Fator Empacotamento Atômico (FEA) para ambas as estruturas (CFC e CCC).
Informações fornecidas no enunciado que vou usar:
  • raio atômico na fase CCC: \mathrm{R_{CCC}}=0,12584\\ \mathrm{nm} (peguei esse dado no enunciado),
  • raio atômico na fase CFC: \mathrm{R_{CFC}}=0,12894\\ \mathrm{nm} (peguei esse dado no enunciado).
Observações úteis (não resolvo ainda, só anoto):
  • para CCC (cúbica de corpo centrado, BCC) o número de átomos por cela é n_{BCC}=2;
  • para CFC (cúbica de face centrada, FCC) o número de átomos por cela é n_{FCC}=4.

Passo 2

Definir como relacionar raio atômico \mathrm{R} com parâmetro de rede a (lado da cela cúbica) e como obter volumes por átomo:
  • Explicação física: o volume ocupado por um átomo idealizado é o volume da esfera de raio \mathrm{R}. O volume da cela unitária cúbica é a^3. O volume médio por átomo é V_{\text{átomo}}=\dfrac{a^3}{n}á, com n = número de átomos por cela. Como a massa é constante, a variação de volume relativa é obtida comparando V_{\text{átomo}}á nas duas fases.
  • Relações geométricas (derivadas da posição dos átomos na cela):
    • Para BCC (CCC): os átomos se tocam ao longo da diagonal do cubo que passa pelo centro; a distância centro-canto é 2\mathrm{R}, e essa distância é \dfrac{\sqrt{3}}{2}a. Logo \frac{\sqrt{3}}{2}a = 2\mathrm{R}\quad\Rightarrow\quad a_{BCC}=\frac{4\mathrm{R}}{\sqrt{3}}.
    • Para FCC (CFC): os átomos se tocam ao longo da diagonal da face; a diagonal da face vale \sqrt{2}a e equivale a 4\mathrm{R}. Logo \sqrt{2}a = 4\mathrm{R}\quad\Rightarrow\quad a_{FCC}=\frac{4\mathrm{R}}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}\,\mathrm{R}.
  • Fórmula do volume por átomo: V_{\text{átomo}}=\frac{a^3}{n}.á

Passo 3

Calcular os parâmetros de rede numéricos usando os raios dados (aqui faço as contas passo a passo; todas as quantidades em \mathrm{nm}):
  • Para CCC (BCC): a_{BCC}=\frac{4\mathrm{R_{CCC}}}{\sqrt{3}}=\frac{4\cdot 0,12584}{\sqrt{3}}.Primeiro 4\cdot 0,12584=0,50336. Como \sqrt{3}\approx 1,7320508, a_{BCC}\approx\frac{0,50336}{1,7320508}\approx 0,29058\\ \mathrm{nm}.
  • Para CFC (FCC): a_{FCC}=\frac{4\mathrm{R_{CFC}}}{\sqrt{2}}=\frac{4\cdot 0,12894}{\sqrt{2}}.Primeiro 4\cdot 0,12894=0,51576. Como \sqrt{2}\approx 1,41421356, a_{FCC}\approx\frac{0,51576}{1,41421356}\approx 0,36478\\ \mathrm{nm}.

Passo 4

Calcular volumes das celas e volume por átomo:
  • Volume da cela: V_{cell,BCC}=a_{BCC}^3\approx (0,29058)^3\\ \mathrm{nm}^3\approx 0,024520\\ \mathrm{nm}^3.
V_{cell,FCC}=a_{FCC}^3\approx (0,36478)^3\\ \mathrm{nm}^3\approx 0,048554\\ \mathrm{nm}^3.
  • Volume por átomo (massa constante implica comparar volumes por átomo): V_{\text{átomo},BCC}=\frac{V_{cell,BCC}}{n_{BCC}}=\frac{0,024520}{2}\\ \mathrm{nm}^3\approx 0,012260\\ \mathrm{nm}^3.á
V_{\text{átomo},FCC}=\frac{V_{cell,FCC}}{n_{FCC}}=\frac{0,048554}{4}\\ \mathrm{nm}^3\approx 0,012139\\ \mathrm{nm}^3.á

Passo 5

Calcular a variação de volume relativa (passagem de CFC para CCC). Defino a variação percentual como
\Delta V\%=\frac{V_{\text{átomo},BCC}-V_{\text{átomo},FCC}}{V_{\text{átomo},FCC}}\times 100\%.ááá
Substituindo os valores:
\Delta V\%=\frac{0,012260-0,012139}{0,012139}\times 100\%\approx \frac{0,000121}{0,012139}\times 100\%\approx 1{,}00\%.
Interpretação: a transformação de CFC \to CCC leva a um aumento do volume de aproximadamente 1{,}00\% (considerando massa constante e usando os raios fornecidos).

Passo 6

Agora calculo o Fator Empacotamento Atômico (FEA) para cada estrutura — primeiro explico o conceito e a fórmula:
  • Definição: FEA=\dfrac{\text{volume total das esferas (átomos) na cela}}{\text{volume da cela}}á.
  • Volume de uma esfera de raio \mathrm{R}: \dfrac{4}{3}\pi \mathrm{R}^3.
  • Portanto FEA=\frac{n\cdot \tfrac{4}{3}\pi \mathrm{R}^3}{a^3}.
Mas podemos obter valores analíticos que não dependem de \mathrm{R} substituindo a em função de \mathrm{R}.

Passo 7

Derivar FEA analítico e calcular numericamente:
  • Para BCC (CCC): a_{BCC}=\dfrac{4\mathrm{R}}{\sqrt{3}}, n_{BCC}=2. Então FEA_{BCC}=\frac{2\cdot \tfrac{4}{3}\pi \mathrm{R}^3}{\left(\dfrac{4\mathrm{R}}{\sqrt{3}}\right)^3} =\frac{\tfrac{8}{3}\pi \mathrm{R}^3}{\dfrac{64\mathrm{R}^3}{3\sqrt{3}}} =\frac{8\pi}{64}\sqrt{3} =\frac{\sqrt{3}\pi}{8}.Valor numérico: FEA_{BCC}=\frac{\sqrt{3}\pi}{8}\approx 0{,}6802\quad\text{(ou }68{,}02\%\text{)}.
  • Para FCC (CFC): a_{FCC}=\dfrac{4\mathrm{R}}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}\mathrm{R}, n_{FCC}=4. Então FEA_{FCC}=\frac{4\cdot \tfrac{4}{3}\pi \mathrm{R}^3}{(2\sqrt{2}\mathrm{R})^3} =\frac{\tfrac{16}{3}\pi \mathrm{R}^3}{16\sqrt{2}\mathrm{R}^3} =\frac{\pi}{3\sqrt{2}}.Valor numérico: FEA_{FCC}=\frac{\pi}{3\sqrt{2}}\approx 0{,}7405\quad\text{(ou }74{,}05\%\text{)}.
Comentários amigos: esses valores são constantes geométricas — FCC/HCP empacotam melhor (74%) que BCC (≈68%).

Resposta

(a) \Delta V \approx +1{,}00\% (aumento de volume ao passar de CFC para CCC).
(b) FEA_{CFC}=\dfrac{\pi}{3\sqrt{2}}\approx 0{,}7405 (74{,}05%) \
FEA_{CCC}=\dfrac{\sqrt{3}\pi}{8}\approx 0{,}6802 (68{,}02%).

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