Calcule o fator de empacotamento atômico (em %) do titanato de bário.
OBS: Considere o valor de
igual a 3,1415
OBS: Considere o valor de
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente calcular o fator de empacotamento atômico do titanato de bário em porcentagem. Esse conceito faz parte da cristalografia, que estuda como os átomos se organizam nos materiais. Para resolver isso, a gente vai precisar entender a estrutura cristalina do titanato de bário e usar algumas fórmulas de geometria e volumetria.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o fator de empacotamento atômico (FEA). Ele nos diz o quanto os átomos estão “apertados” dentro de uma célula unitária, que é a menor repetição da estrutura cristalina. A fórmula para calcular o FEA é:
Passo 3
Agora, precisamos saber quantos átomos estão presentes na célula unitária do titanato de bário. O titanato de bário (BaTiO₃) tem a estrutura perovskita, que é um tipo comum de estrutura cristalina. Nessa estrutura:
- Cada célula unitária tem:
- 1 átomo de Bário (Ba) no centro.
- 1 átomo de Titânio (Ti) no centro.
- 3 átomos de Oxigênio (O) nas posições das faces.
No total, temos 5 átomos por célula unitária.
Passo 4
Vamos calcular o volume ocupado pelos átomos na célula unitária. Para isso, usamos a fórmula do volume de uma esfera:
Onde
é o raio do átomo. Mas, como não temos os raios específicos dos átomos, vamos considerar que todos os átomos ocupam um espaço esférico na célula.
Então, o volume total dos átomos é:
Passo 5
Agora, vamos calcular o volume da célula unitária. A célula unitária é cúbica, então o volume é:
Onde
é o parâmetro de rede, ou seja, o comprimento da aresta do cubo. Na estrutura perovskita, a relação entre o raio atômico
e o parâmetro de rede
é dada por:
Vamos substituir
na fórmula do volume da célula:
Passo 6
Agora, substituímos os valores encontrados nas fórmulas do FEA:
Os
se cancelam:
Simplificando os números:
Resposta
O fator de empacotamento atômico do titanato de bário é aproximadamente 92,5%.