Calcule o fator de empacotamento atômico (em %) do titanato de bário.
OBS: Considere o valor de pi igual a 3,1415

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente calcular o fator de empacotamento atômico do titanato de bário em porcentagem. Esse conceito faz parte da cristalografia, que estuda como os átomos se organizam nos materiais. Para resolver isso, a gente vai precisar entender a estrutura cristalina do titanato de bário e usar algumas fórmulas de geometria e volumetria.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o fator de empacotamento atômico (FEA). Ele nos diz o quanto os átomos estão “apertados” dentro de uma célula unitária, que é a menor repetição da estrutura cristalina. A fórmula para calcular o FEA é:
FEA = ( Volume total dos átomos na célulaVolume da célula unitária ) times 100% áééá

Passo 3

Agora, precisamos saber quantos átomos estão presentes na célula unitária do titanato de bário. O titanato de bário (BaTiO₃) tem a estrutura perovskita, que é um tipo comum de estrutura cristalina. Nessa estrutura:
  • Cada célula unitária tem:
    • 1 átomo de Bário (Ba) no centro.
    • 1 átomo de Titânio (Ti) no centro.
    • 3 átomos de Oxigênio (O) nas posições das faces.
No total, temos 5 átomos por célula unitária.

Passo 4

Vamos calcular o volume ocupado pelos átomos na célula unitária. Para isso, usamos a fórmula do volume de uma esfera:
Vátomo = 43 pi r^3 á
Onde Vtotal = 5 times 43 pi r^3 é o raio do átomo. Mas, como não temos os raios específicos dos átomos, vamos considerar que todos os átomos ocupam um espaço esférico na célula.
Então, o volume total dos átomos é:
Vtotal = 203 pi r^3

Passo 5

Agora, vamos calcular o volume da célula unitária. A célula unitária é cúbica, então o volume é:
Vcélula = a^3 é
Onde a = 2raiz2 , r é o parâmetro de rede, ou seja, o comprimento da aresta do cubo. Na estrutura perovskita, a relação entre o raio atômico Vcélula = (2raiz2 , r)^3 e o parâmetro de rede Vcélula = 16raiz2 , r^3 é dada por:
Vamos substituir na fórmula do volume da célula:
é
é

Passo 6

Agora, substituímos os valores encontrados nas fórmulas do FEA:
FEA = ( 203 pi r^316raiz2 , r^3 ) times 100%
Os FEA = ( 20pi3 times 16raiz2 ) times 100% se cancelam:
FEA = ( 20 times 3,141548 times 1,4142 ) times 100%
Simplificando os números:
FEA = ( 62,8367,88 ) times 100%
FEA approx 0,925 times 100%

Resposta

O fator de empacotamento atômico do titanato de bário é aproximadamente 92,5%.

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