Prove que (2 y^2+2 y) d x+(3 x y+2 x) d y=0 não é exata.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para provar que a equação diferencial (2 y^2+2 y) dx + (3 x y + 2 x) dy = 0 não é exata. Isso está ligado ao estudo de equações diferenciais exatas na matemática. Para resolver, vamos precisar verificar se as condições para uma equação ser exata são satisfeitas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções que multiplicam $ dx $ e $ dy $ na equação. Chamamos essas funções de $ M $ e $ N $ respectivamente. Assim:
dx
dy

Passo 3

Para uma equação diferencial ser exata, ela deve satisfazer a condição de que a derivada parcial de $ M $ em relação a $ y $ seja igual à derivada parcial de $ N $ em relação a $ x $. Em outras palavras:
M

Passo 4

Vamos calcular $ \frac{\partial M}{\partial y} $:
partial Mpartial y

Passo 5

Agora, vamos calcular $ \frac{\partial N}{\partial x} $:
partial Npartial x

Passo 6

Comparemos os resultados das derivadas parciais:
partial Mpartial y = 4y + 2
partial Npartial x = 3y + 2
Podemos ver que $ 4y + 2 \neq 3y + 2 $ para todo $ y $ diferente de zero.

Resposta

Como $ \frac{\partial M}{\partial y} $ não é igual a $ \frac{\partial N}{\partial x} $, concluímos que a equação diferencial dada não é exata.

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