Prove que
não é exata.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para provar que a equação diferencial
não é exata. Isso está ligado ao estudo de equações diferenciais exatas na matemática. Para resolver, vamos precisar verificar se as condições para uma equação ser exata são satisfeitas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções que multiplicam $ dx $ e $ dy $ na equação. Chamamos essas funções de $ M $ e $ N $ respectivamente. Assim:
Passo 3
Para uma equação diferencial ser exata, ela deve satisfazer a condição de que a derivada parcial de $ M $ em relação a $ y $ seja igual à derivada parcial de $ N $ em relação a $ x $. Em outras palavras:
Passo 4
Vamos calcular $ \frac{\partial M}{\partial y} $:
Passo 5
Agora, vamos calcular $ \frac{\partial N}{\partial x} $:
Passo 6
Comparemos os resultados das derivadas parciais:
Podemos ver que $ 4y + 2 \neq 3y + 2 $ para todo $ y $ diferente de zero.
Resposta
Como $ \frac{\partial M}{\partial y} $ não é igual a $ \frac{\partial N}{\partial x} $, concluímos que a equação diferencial dada não é exata.