Verifique se y=x-2 xln x é solução de 2 dydx-1x^2 cdot y^2-1=0.

Passo 1

Neste exercício, vamos verificar se a função $ y = x - \frac{2x}{\ln x} $ é solução da equação diferencial $ 2 \frac{dy}{dx} - \frac{1}{x^{2}} y^{2} - 1 = 0 $. Para isso, precisamos calcular a derivada de $ y $, substituir na equação e simplificar para ver se a igualdade é verdadeira. Vamos utilizar conceitos de cálculo diferencial, como derivadas de funções compostas e logaritmos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada de $ y $ em relação a $ x $. A função dada é:
y
Vamos derivar termo a termo.
  1. A derivada de $ x $ em relação a $ x $ é 1.
  2. Para derivar $ \frac{2x}{\ln x} $, usamos a regra do quociente. Seja $ u = 2x $ e $ v = \ln x $. Então,
x
Aplicando a regra do quociente:
y = x - 2xln x
Substituindo:
x
Portanto, a derivada de $ y $ é:
x

Passo 3

Agora, vamos substituir $ \frac{dy}{dx} $ e $ y $ na equação diferencial dada:
dydx
Primeiro, multiplicamos a derivada por 2:
y
Em seguida, calculamos $ \frac{1}{x^2} y^2 $:
2 dydx - 1x^2 y^2 - 1 = 0
Elevando ao quadrado:
2 dydx = 2 [1 - 2(ln x - 1)(ln x)^2] = 2 - 4(ln x - 1)(ln x)^2
Portanto:
1x^2 y^2

Passo 4

Substituindo tudo na equação diferencial:
2 dydx - 1x^2 y^2 - 1 = (2 - 4(ln x - 1)(ln x)^2) - (1 - 4ln x + 4(ln x)^2) - 1
Simplificando os termos:
= 2 - 4(ln x - 1)(ln x)^2 - 1 + 4ln x - 4(ln x)^2 - 1
Agrupando:
= (2 - 1 - 1) + 4ln x - 4(ln x - 1)(ln x)^2 - 4(ln x)^2
Os termos constantes se cancelam:
= 4ln x - 4ln x - 4(ln x)^2 - 4(ln x)^2
Simplificando ainda mais:
= 4ln x - 4ln x(ln x)^2 = 4ln x - 4ln x = 0

Resposta

A função $ y = x - \frac{2x}{\ln x} $ satisfaz a equação diferencial $ 2 \frac{dy}{dx} - \frac{1}{x^{2}} y^{2} - 1 = 0 $, ou seja, é uma solução da equação dada.

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