Verifique se
é solução de
.
Passo 1
Neste exercício, vamos verificar se a função $ y = x - \frac{2x}{\ln x} $ é solução da equação diferencial $ 2 \frac{dy}{dx} - \frac{1}{x^{2}} y^{2} - 1 = 0 $. Para isso, precisamos calcular a derivada de $ y $, substituir na equação e simplificar para ver se a igualdade é verdadeira. Vamos utilizar conceitos de cálculo diferencial, como derivadas de funções compostas e logaritmos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada de $ y $ em relação a $ x $. A função dada é:
Vamos derivar termo a termo.
-
A derivada de $ x $ em relação a $ x $ é 1.
-
Para derivar $ \frac{2x}{\ln x} $, usamos a regra do quociente. Seja $ u = 2x $ e $ v = \ln x $. Então,
Aplicando a regra do quociente:
Substituindo:
Portanto, a derivada de $ y $ é:
Passo 3
Agora, vamos substituir $ \frac{dy}{dx} $ e $ y $ na equação diferencial dada:
Primeiro, multiplicamos a derivada por 2:
Em seguida, calculamos $ \frac{1}{x^2} y^2 $:
Elevando ao quadrado:
Portanto:
Passo 4
Substituindo tudo na equação diferencial:
Simplificando os termos:
Agrupando:
Os termos constantes se cancelam:
Simplificando ainda mais:
Resposta
A função $ y = x - \frac{2x}{\ln x} $ satisfaz a equação diferencial $ 2 \frac{dy}{dx} - \frac{1}{x^{2}} y^{2} - 1 = 0 $, ou seja, é uma solução da equação dada.