Calcule os fatores de escala (hi’s) e o determinante da Matriz Jacobiana referentes aos sistemas de coordenadas polares esféricas.

Passo 1

O que o problema pede e os dados que vou usar. O objetivo é calcular os fatores de escala h_i (os “hi’s”) e o determinante da Matriz Jacobiana para as coordenadas polares esféricas. Vou usar a convenção usual de coordenadas esféricas (r,\theta,\varphi), com:
  • r\ge0 (distância ao origem),
  • \theta\in[0,\pi] (colatitude, ângulo medido a partir do eixo z),
  • \varphi\in[0,2\pi) (azimute, ângulo no plano xy).
As relações entre as coordenadas esféricas e retangulares são (vou pegar estas expressões do enunciado implícito do sistema de coordenadas esféricas padrão):
x = r\sin\theta\cos\varphi, \qquad y = r\sin\theta\sin\varphi, \qquad z = r\cos\theta.
O que devo retornar no final:
  • os fatores de escala h_r,\;h_\theta,\;h_\varphi;
  • o determinante da Matriz Jacobiana \det J=\left|\dfrac{\partial(x,y,z)}{\partial(r,\theta,\varphi)}\right|.

Passo 2

O conceito de fator de escala (explicação didática e fórmula). Em coordenadas curvilíneas (q_1,q_2,q_3) definidas por uma posição \mathbf{r}(q_1,q_2,q_3), o fator de escala h_i associado a q_i é definido por
h_i=\left\lVert\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial q_i}\right\rVert,
ou seja, é o comprimento do vetor tangente obtido ao variar só q_i. Intuição: um pequeno deslocamento \mathrm{d}\mathbf{r} vale aproximadamente
\mathrm{d}\mathbf{r}\approx \frac{\partial\mathbf{r}}{\partial q_1}\mathrm{d}q_1 +\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial q_2}\mathrm{d}q_2 +\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial q_3}\mathrm{d}q_3,
e a métrica local (o quadrado do comprimento) é
\mathrm{d}s^{2}=h_1^{2}\mathrm{d}q_1^{2}+h_2^{2}\mathrm{d}q_2^{2}+h_3^{2}\mathrm{d}q_3^{2}
quando as linhas de coordenadas são mutuamente ortogonais. Portanto, para cada q_i eu calculo \partial\mathbf{r}/\partial q_i e tomo a norma para obter h_i.

Passo 3

Escrever o vetor posição em termos de (r,\theta,\varphi). O vetor posição em coordenadas cartesianas é
\mathbf{r}=x\,\hat{\mathbf{i}}+y\,\hat{\mathbf{j}}+z\,\hat{\mathbf{k}}.
Substituindo as relações esféricas:
\mathbf{r}(r,\theta,\varphi)= r\sin\theta\cos\varphi\,\hat{\mathbf{i}} + r\sin\theta\sin\varphi\,\hat{\mathbf{j}} + r\cos\theta\,\hat{\mathbf{k}}.

Passo 4

Calcular \dfrac{\partial\mathbf{r}}{\partial r} e seu comprimento (isto dará h_r). Derivando componente a componente em relação a r:
\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial r} = \sin\theta\cos\varphi\,\hat{\mathbf{i}} + \sin\theta\sin\varphi\,\hat{\mathbf{j}} + \cos\theta\,\hat{\mathbf{k}}.
Agora a norma:
\left\lVert\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial r}\right\rVert =\sqrt{\sin^{2}\theta\cos^{2}\varphi+\sin^{2}\theta\sin^{2}\varphi+\cos^{2}\theta}.
Usando \cos^{2}\varphi+\sin^{2}\varphi=1:
\left\lVert\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial r}\right\rVert =\sqrt{\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta}=\sqrt{1}=1.
Portanto:
h_r=1.

Passo 5

Calcular \dfrac{\partial\mathbf{r}}{\partial \theta} e seu comprimento (isto dará h_\theta). Derivando em relação a \theta:
\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial\theta} = r\cos\theta\cos\varphi\,\hat{\mathbf{i}} + r\cos\theta\sin\varphi\,\hat{\mathbf{j}} - r\sin\theta\,\hat{\mathbf{k}}.
Norma:
\left\lVert\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial\theta}\right\rVert = r\sqrt{\cos^{2}\theta\cos^{2}\varphi+\cos^{2}\theta\sin^{2}\varphi+\sin^{2}\theta}.
Novamente \cos^{2}\varphi+\sin^{2}\varphi=1, então dentro da raiz fica \cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta=1. Logo
\left\lVert\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial\theta}\right\rVert = r.
Portanto:
h_\theta = r.

Passo 6

Calcular \dfrac{\partial\mathbf{r}}{\partial \varphi} e seu comprimento (isto dará h_\varphi). Derivando em relação a \varphi:
\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial\varphi} = -r\sin\theta\sin\varphi\,\hat{\mathbf{i}} + r\sin\theta\cos\varphi\,\hat{\mathbf{j}} + 0\cdot\hat{\mathbf{k}}.
Norma:
\left\lVert\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial\varphi}\right\rVert = r\sin\theta\sqrt{\sin^{2}\varphi+\cos^{2}\varphi} = r\sin\theta.
Portanto:
h_\varphi = r\sin\theta.

Passo 7

Comentário sobre ortogonalidade e uso prático. Observação útil: os vetores \dfrac{\partial\mathbf{r}}{\partial r},\\ \dfrac{\partial\mathbf{r}}{\partial\theta},\\ \dfrac{\partial\mathbf{r}}{\partial\varphi} resultam em direções mutuamente ortogonais em esféricas (pode verificar que os produtos escalares são zero). Isso significa que a base curvilínea é ortonormal até fatores h_i, e facilita a forma do elemento de volume e de operadores diferenciais.

Passo 8

Determinante da Matriz Jacobiana. Duas maneiras equivalentes e rápidas:
  1. Para sistemas ortogonais a razão entre o elemento de volume cartesiano e o diferencial dos parâmetros é o produto dos fatores de escala:
\det J = h_r\,h_\theta\,h_\varphi.
Substituindo os valores:
\det J = 1\cdot r\cdot (r\sin\theta) = r^{2}\sin\theta.
  1. (Verificação pela triple product) O determinante também é o produto escalar misto
\det J = \frac{\partial\mathbf{r}}{\partial r}\cdot\left(\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial\theta}\times\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial\varphi}\right).
Como \dfrac{\partial\mathbf{r}}{\partial r} = \hat{\mathbf{e}}_r, \dfrac{\partial\mathbf{r}}{\partial \theta} = r\hat{\mathbf{e}}_\theta, \dfrac{\partial\mathbf{r}}{\partial\varphi} = r\sin\theta\,\hat{\mathbf{e}}_\varphi e \hat{\mathbf{e}}_r\cdot(\hat{\mathbf{e}}_\theta\times\hat{\mathbf{e}}_\varphi)=1 para a orientação usual, obtém-se novamente
\det J = r^{2}\sin\theta.

Passo 9

Resumo prático (como usar na prova). Para resolver rápido numa prova: escreva as transformações x=r\sin\theta\cos\varphi, etc.; calcule \partial\mathbf{r}/\partial r,\\ \partial\mathbf{r}/\partial\theta,\\ \partial\mathbf{r}/\partial\varphi; as normas dão 1,\\ r,\\ r\sin\theta. O elemento de volume vale \mathrm{d}V=\det J\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\varphi=r^{2}\sin\theta\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\varphi. Isso resolve integrais e operadores na maioria dos problemas.

Resposta

h_{r}=1
h_{\theta}=r
h_{\varphi}=r\sin\theta
\displaystyle \det J = r^{2}\sin\theta

Exercícios relacionados