Calcule os fatores de escala (hi’s) e o determinante da Matriz Jacobiana referentes aos sistemas de coordenadas polares esféricas.
Passo 1
O que o problema pede e os dados que vou usar. O objetivo é calcular os fatores de escala h_i (os “hi’s”) e o determinante da Matriz Jacobiana para as coordenadas polares esféricas. Vou usar a convenção usual de coordenadas esféricas (r,\theta,\varphi), com:
r\ge0 (distância ao origem),
\theta\in[0,\pi] (colatitude, ângulo medido a partir do eixo z),
\varphi\in[0,2\pi) (azimute, ângulo no plano xy).
As relações entre as coordenadas esféricas e retangulares são (vou pegar estas expressões do enunciado implícito do sistema de coordenadas esféricas padrão):
x = r\sin\theta\cos\varphi, \qquad y = r\sin\theta\sin\varphi, \qquad z = r\cos\theta.
O que devo retornar no final:
os fatores de escala h_r,\;h_\theta,\;h_\varphi;
o determinante da Matriz Jacobiana \det J=\left|\dfrac{\partial(x,y,z)}{\partial(r,\theta,\varphi)}\right|.
Passo 2
O conceito de fator de escala (explicação didática e fórmula). Em coordenadas curvilíneas (q_1,q_2,q_3) definidas por uma posição \mathbf{r}(q_1,q_2,q_3), o fator de escala h_i associado a q_i é definido por
quando as linhas de coordenadas são mutuamente ortogonais. Portanto, para cada q_i eu calculo \partial\mathbf{r}/\partial q_i e tomo a norma para obter h_i.
Passo 3
Escrever o vetor posição em termos de (r,\theta,\varphi). O vetor posição em coordenadas cartesianas é
Comentário sobre ortogonalidade e uso prático. Observação útil: os vetores \dfrac{\partial\mathbf{r}}{\partial r},\\ \dfrac{\partial\mathbf{r}}{\partial\theta},\\ \dfrac{\partial\mathbf{r}}{\partial\varphi} resultam em direções mutuamente ortogonais em esféricas (pode verificar que os produtos escalares são zero). Isso significa que a base curvilínea é ortonormal até fatores h_i, e facilita a forma do elemento de volume e de operadores diferenciais.
Passo 8
Determinante da Matriz Jacobiana. Duas maneiras equivalentes e rápidas:
Para sistemas ortogonais a razão entre o elemento de volume cartesiano e o diferencial dos parâmetros é o produto dos fatores de escala:
Como \dfrac{\partial\mathbf{r}}{\partial r} = \hat{\mathbf{e}}_r, \dfrac{\partial\mathbf{r}}{\partial \theta} = r\hat{\mathbf{e}}_\theta, \dfrac{\partial\mathbf{r}}{\partial\varphi} = r\sin\theta\,\hat{\mathbf{e}}_\varphi e \hat{\mathbf{e}}_r\cdot(\hat{\mathbf{e}}_\theta\times\hat{\mathbf{e}}_\varphi)=1 para a orientação usual, obtém-se novamente
\det J = r^{2}\sin\theta.
Passo 9
Resumo prático (como usar na prova). Para resolver rápido numa prova: escreva as transformações x=r\sin\theta\cos\varphi, etc.; calcule \partial\mathbf{r}/\partial r,\\ \partial\mathbf{r}/\partial\theta,\\ \partial\mathbf{r}/\partial\varphi; as normas dão 1,\\ r,\\ r\sin\theta. O elemento de volume vale \mathrm{d}V=\det J\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\varphi=r^{2}\sin\theta\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\varphi. Isso resolve integrais e operadores na maioria dos problemas.