Exercício 3. Resolva as integrais impróprias abaixo
\int_{1}^{3} \frac{x}{\sqrt{x^{2}-1}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria
\int_{1}^{3} \frac{x}{\sqrt{x^{2}-1}}\,dx.
Informações importantes dadas:
  • O integrando é \dfrac{x}{\sqrt{x^{2}-1}}.
  • O intervalo de integração é [1,3].
  • Observação crítica: em x=1 o denominador \sqrt{x^{2}-1} = \sqrt{0} = 0, ou seja, o integrando não está definido em x=1. Logo a integral é imprópria no limite inferior.
O que o exercício pede: avaliar a integral impropriamente definida acima, isto é, verificar se ela converge e, em caso afirmativo, calcular seu valor.

Passo 2

Definimos a integral imprópria como limite, aproximando o ponto singular pela direita. Escrevemos
\int_{1}^{3} \frac{x}{\sqrt{x^{2}-1}}\,dx = \lim_{a\to 1^{+}} \int_{a}^{3} \frac{x}{\sqrt{x^{2}-1}}\,dx.
Explicar isso rápido e de forma prática: como a função não é definida em x=1 mas é definida e contínua para qualquer x>1, calculamos a integral de a até 3 com a>1 e só então fazemos a tender para 1 pela direita.

Passo 3

Vamos achar uma primitiva (antiderivada) de \dfrac{x}{\sqrt{x^{2}-1}}. Uma substituição simples resolve isso. Faça
u = x^{2}-1.
Então diferenciando,
du = 2x\,dx \quad\Rightarrow\quad x\,dx = \frac{1}{2}\,du.
Substituindo na integral (considerando a integral indefinida por enquanto),
\int \frac{x}{\sqrt{x^{2}-1}}\,dx = \int \frac{x}{\sqrt{u}}\,dx = \int \frac{1}{\sqrt{u}}\cdot\frac{1}{2}\,du.
Agora uma explicação didática: a substituição transforma a raiz \sqrt{x^{2}-1} em \sqrt{u}, e o diferencial x\,dx vira \tfrac{1}{2}du, simplificando muito a integral.

Passo 4

Continuando o cálculo da primitiva,
\int \frac{1}{2} u^{-1/2}\,du = \frac{1}{2}\cdot \frac{u^{1/2}}{1/2} + C = u^{1/2} + C.
Voltando à variável x (lembre que u=x^{2}-1),
\int \frac{x}{\sqrt{x^{2}-1}}\,dx = \sqrt{x^{2}-1} + C.
Verificação rápida (importante para a prova): derivando \sqrt{x^{2}-1} obtemos
\frac{d}{dx}\sqrt{x^{2}-1} = \frac{1}{2}(x^{2}-1)^{-1/2}\cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^{2}-1}},
o que confirma que a primitiva está correta.

Passo 5

Agora usamos a primitiva para a integral definida com o limite a\to1^{+}:
\int_{a}^{3} \frac{x}{\sqrt{x^{2}-1}}\,dx = \left[\sqrt{x^{2}-1}\right]_{x=a}^{x=3} = \sqrt{3^{2}-1} - \sqrt{a^{2}-1}.
Calculamos \sqrt{3^{2}-1}=\sqrt{9-1}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}. Logo
\int_{a}^{3} \frac{x}{\sqrt{x^{2}-1}}\,dx = 2\sqrt{2} - \sqrt{a^{2}-1}.

Passo 6

Fazemos o limite quando a\to1^{+}:
\lim_{a\to 1^{+}}\left(2\sqrt{2} - \sqrt{a^{2}-1}\right).
Como \sqrt{a^{2}-1}\to \sqrt{1^{2}-1}=0 quando a\to1^{+}, o limite é simplesmente 2\sqrt{2}-0. Portanto a integral converge e seu valor é 2\sqrt{2}.

Resposta

2\sqrt{2}

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