Exercício 3. Resolva as integrais impróprias abaixo
\int_{1}^{3} \frac{x}{\sqrt{x^{2}-1}} d x
\int_{1}^{3} \frac{x}{\sqrt{x^{2}-1}} d x
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral imprópria
Informações importantes dadas:
- O integrando é
. - O intervalo de integração é
. - Observação crítica: em
o denominador = = , ou seja, o integrando não está definido em . Logo a integral é imprópria no limite inferior.
O que o exercício pede: avaliar a integral impropriamente definida acima, isto é, verificar se ela converge e, em caso afirmativo, calcular seu valor.
Passo 2
Definimos a integral imprópria como limite, aproximando o ponto singular pela direita. Escrevemos
Explicar isso rápido e de forma prática: como a função não é definida em
mas é definida e contínua para qualquer
, calculamos a integral de
até
com
e só então fazemos
tender para
pela direita.
Passo 3
Vamos achar uma primitiva (antiderivada) de
. Uma substituição simples resolve isso. Faça
Então diferenciando,
Substituindo na integral (considerando a integral indefinida por enquanto),
Agora uma explicação didática: a substituição transforma a raiz
em
, e o diferencial
vira
, simplificando muito a integral.
Passo 4
Continuando o cálculo da primitiva,
Voltando à variável
(lembre que
),
Verificação rápida (importante para a prova): derivando
obtemos
o que confirma que a primitiva está correta.
Passo 5
Agora usamos a primitiva para a integral definida com o limite
:
Calculamos
. Logo
Passo 6
Fazemos o limite quando
:
Como
quando
, o limite é simplesmente
. Portanto a integral converge e seu valor é
.