Exercício 4. Consideremos uma partícula viajando no espaço de acordo com o vetor posição dado pela função vetorial
onde t pode ser considerado o tempo. Observando q no instante
a partícula está na posição
, qual a distância percorrida pela partícula sobre a trajetória até o instante
? Encontre também o a velocidade (magnitude) da partícula em
.
Passo 1
O enunciado dá a função vetorial posição
com
representando o tempo. Foi também informado que no instante
a partícula está em
. As perguntas são:
- Qual a distância percorrida pela partícula ao longo da trajetória desde
até ? - Qual a velocidade (magnitude) da partícula em
?
Passo 2
Primeiro conceito importante (aula rápida): a velocidade vetorial é a derivada temporal da posição. Em símbolos, a velocidade vetorial é
Calcula-se a derivada componente a componente (derivada de
é
; derivada de
é
; derivada de
é
). Aplicando isso às componentes de
, obtemos
Explicando devagar: a segunda componente de
é
. Derivando, vem
. Por isso o sinal positivo.
Passo 3
Agora outro conceito-chave: a velocidade escalar (ou rapidez, magnitude da velocidade) é o comprimento do vetor velocidade, isto é
. Para um vetor
vale
. Aplicando a
,
Desenvolvendo os quadrados:
Usamos agora a identidade trigonométrica básica
. Substituindo,
Comentário amistoso: isso significa que a rapidez da partícula é constante e igual a
para todo
. Às vezes acontece isso quando a componente tangencial varia mas a soma dos quadrados fica constante — aqui foi justamente por causa de
.
Passo 4
Agora a distância percorrida de
a
ao longo de uma curva dada por
é dada pela integral do módulo da velocidade:
No nosso caso
e
, e como
é constante, a integral fica simples:
Interpretação física rápida: a partícula se mexe com rapidez constante
, então em uma unidade de tempo percorre exatamente
unidades de comprimento.
Passo 5
A segunda pergunta pede a velocidade (magnitude) em
. Como mostramos em