(1,5 ponto) b) Considere o seguinte sistema de equações diferenciais ordinárias:
l x^prime=-3 x^3-y^4 y^prime=-3 y^3+x^4
A origem é um ponto de equilíbrio estável ou instável? Se for estável, ela é assintoticamente estável?

Passo 1

O enunciado dá o sistema
x'=-3x^3 - y^4, y'=-3y^3 + x^4,
e pede para classificar a estabilidade da origem. Como não há parte linear, o ponto é não hiperbólico e vamos usar o método de Lyapunov com uma função candidata para mostrar estabilidade e, se for o caso, atração assintótica.

Passo 2

Escolhemos a função de Lyapunov clássica
V(x,y)=x^2+y^2,
que é positiva definida em torno da origem (isto é, V>0 para (x,y)neq(0,0) e V(0,0)=0).

Passo 3

Calculamos a derivada de V ao longo das trajetórias:
dot V =2x,x' + 2y,y' =2x(-3x^3 - y^4) +2y(-3y^3 + x^4)
Distribuindo, obtemos
dot V = -6x^4 -2x,y^4 -6y^4 +2y,x^4 =-6l(x^4+y^4r) +2x^4,y -2x,y^4

Passo 4

Para (x,y) suficientemente próximos da origem, digamos lvert xrvert,lvert yrvert<r, os termos de quinta ordem 2x^4y e -2xy^4 são muito menores que 6x^4 e 6y^4. Em particular, se escolhermos r<1 então
l|2x^4yr| + l|2x,y^4r|<=2r,(x^4+y^4)<6,(x^4+y^4),
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dot V <= -6(x^4+y^4) + 2r,(x^4+y^4) =-(6-2r),(x^4+y^4)<0
para todo (x,y)neq(0,0) com max|x|,|y|<r. Assim dot V é negativa definida num disco ao redor da origem.

Passo 5

Como existe uma função de Lyapunov positiva definida V cuja derivada ao longo das soluções é negativa definida num entorno da origem, concluímos que a origem é estável e, devido a dot V<0 para todo ponto diferente da origem no entorno, ela é também assintoticamente estável.

Resposta

A origem é estável e assintoticamente estável.

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