(1,5 ponto) b) Considere o seguinte sistema de equações diferenciais ordinárias:
A origem é um ponto de equilíbrio estável ou instável? Se for estável, ela é assintoticamente estável?
Passo 1
O enunciado dá o sistema
e pede para classificar a estabilidade da origem. Como não há parte linear, o ponto é não hiperbólico e vamos usar o método de Lyapunov com uma função candidata para mostrar estabilidade e, se for o caso, atração assintótica.
Passo 2
Escolhemos a função de Lyapunov clássica
que é positiva definida em torno da origem (isto é, para e ).
Passo 3
Calculamos a derivada de ao longo das trajetórias:
Distribuindo, obtemos
Passo 4
Para suficientemente próximos da origem, digamos , os termos de quinta ordem e são muito menores que e . Em particular, se escolhermos então
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dot V <= -6(x^4+y^4) + 2r,(x^4+y^4) =-(6-2r),(x^4+y^4)<0
para todo (x,y)neq(0,0) com max|x|,|y|<r. Assim dot V é negativa definida num disco ao redor da origem.
Passo 5
Como existe uma função de Lyapunov positiva definida V cuja derivada ao longo das soluções é negativa definida num entorno da origem, concluímos que a origem é estável e, devido a dot V<0 para todo ponto diferente da origem no entorno, ela é também assintoticamente estável.