Calcule fff(x+xy^2) dV onde E é o sólido do primeiro octante que está abaixo do paraboloide z=1-x^2-y^2.

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do integral triplo
\iiint_{E} \bigl(x + x y^2\bigr)\,dV
onde E é o sólido no primeiro octante (ou seja, x\ge0, y\ge0, z\ge0) limitado por
z = 1 - x^2 - y^2.
O conteúdo usado será integral tripla e mudança para coordenadas cilíndricas, pois a projeção de E no plano xy é o primeiro quadrante do disco x^2+y^2\le1.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas definimos
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,\quad z = z,
com jacobiano r. A região E vira
0 \le \theta \le \tfrac{\pi}{2},\quad 0 \le r \le 1,\quad 0 \le z \le 1 - r^2.
A integranda fica
x + x y^2 = r\cos\theta + \bigl(r\cos\theta\bigr)\bigl(r^2\sin^2\theta\bigr) = r\cos\theta + r^3\cos\theta\,\sin^2\theta.

Passo 3

Escrevendo o integral triplo com o fator r do jacobiano:
\iiint_{E} (x+xy^2)\,dV = \int_{\theta=0}^{\pi/2}\!\int_{r=0}^{1}\!\int_{z=0}^{1-r^2} \bigl(r\cos\theta + r^3\cos\theta\,\sin^2\theta\bigr)\,r\,dz\,dr\,d\theta.
Primeiro integramos em z, o que multiplica pelo comprimento (1-r^2):

Passo 4

Após a integração em z obtemos
\int_{0}^{\pi/2}\!\int_{0}^{1} \bigl(r\cos\theta + r^3\cos\theta\,\sin^2\theta\bigr)\, r\,(1-r^2)\,dr\,d\theta.
Expandindo temos a soma de dois termos que separam em parte radial e parte angular.

Passo 5

Dividimos em duas integrais:
I_1 = \int_{0}^{\pi/2}\cos\theta\,d\theta,\quad I_2 = \int_{0}^{\pi/2}\cos\theta\,\sin^2\theta\,d\theta,
R_1 = \int_{0}^{1}r^2(1-r^2)\,dr,\quad R_2 = \int_{0}^{1}r^4(1-r^2)\,dr.
Calculamos cada uma:
I_1 = \bigl[\sin\theta\bigr]_{0}^{\pi/2} = 1,\qquad I_2 = \int_{u=0}^{1}u^2\,du = \tfrac{1}{3},
R_1 = \int_{0}^{1}(r^2 - r^4)\,dr = \tfrac{1}{3}-\tfrac{1}{5} = \tfrac{2}{15},
R_2 = \int_{0}^{1}(r^4 - r^6)\,dr = \tfrac{1}{5}-\tfrac{1}{7} = \tfrac{2}{35}.
Logo o valor do integral é
I_1\,R_1 + I_2\,R_2 = 1\cdot\tfrac{2}{15} + \tfrac{1}{3}\cdot\tfrac{2}{35} = \tfrac{2}{15} + \tfrac{2}{105} = \tfrac{16}{105}.

Resposta

\frac{16}{105}.

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