Calcule
onde
é o sólido do primeiro octante que está abaixo do paraboloide
.
Passo 1
O enunciado pede o cálculo do integral triplo
onde
é o sólido no primeiro octante (ou seja,
,
,
) limitado por
O conteúdo usado será integral tripla e mudança para coordenadas cilíndricas, pois a projeção de
no plano
é o primeiro quadrante do disco
.
Passo 2
Em coordenadas cilíndricas definimos
com jacobiano
. A região
vira
A integranda fica
Passo 3
Escrevendo o integral triplo com o fator
do jacobiano:
Primeiro integramos em
, o que multiplica pelo comprimento
:
Passo 4
Após a integração em
obtemos
Expandindo temos a soma de dois termos que separam em parte radial e parte angular.
Passo 5
Dividimos em duas integrais:
Calculamos cada uma:
Logo o valor do integral é