Q 6. Duas cargas positivas iguais a q estão localizadas no eixo y em +a e -a. Determine
(a) O campo elétrico em um ponto P do eixo x.
(b) Os pontos sobre o eixo x, nos quais o campo elétrico é máximo.
(c) O valor do campo elétrico nos pontos encontrados no item (b).
(d) O valor do campo elétrico no ponto P para uma distância x \gg a.

Passo 1

O enunciado coloca duas cargas pontuais iguais +q em (0,a) e (0,-a) e pede:
(a) o campo elétrico em P=(x,0) sobre o eixo x,
(b) onde esse campo atinge valor máximo em x,
(c) o valor do campo nesses pontos,
(d) a forma de E para x\gg a.
Vamos usar o princípio da superposição e derivar E(x), depois achar seus extremos por diferenciação.

Passo 2

Cada carga gera em P um campo de módulo
E_1 = \frac{k\,q}{r^2},
com r = \sqrt{x^2 + a^2}. A componente horizontal de cada campo vale
E_{1x} = E_1\cos\theta \quad\text{com}\quad \cos\theta = \frac{x}{r}.
Como as componentes verticais se cancelam, o campo total em P é
E_x = 2\,E_{1x} = 2\,\frac{k\,q}{r^2}\,\frac{x}{r} = 2\,k\,q\;\frac{x}{\bigl(x^2 + a^2\bigr)^{3/2}}
na direção \hat\imath.

Passo 3

Para achar os pontos de máximo de \,E_x(x), derivamos
\frac{dE_x}{dx} =2\,k\,q \;\frac{a^2 - 2x^2}{\bigl(x^2 + a^2\bigr)^{5/2}}
e igualamos a zero. Isso dá
a^2 - 2x^2 = 0 \;\Longrightarrow\; x = \pm \frac{a}{\sqrt2}.

Passo 4

No ponto x = a/\sqrt2, o campo é
E_{\max} =2\,k\,q\, \frac{\tfrac{a}{\sqrt2}}{\bigl(\tfrac{a^2}{2}+a^2\bigr)^{3/2}} =2\,k\,q\,\frac{a/\sqrt2}{\bigl(\tfrac{3a^2}{2}\bigr)^{3/2}} =\frac{4}{3\sqrt3}\,\frac{k\,q}{a^2}.

Passo 5

Para x\gg a, tem-se x^2+a^2\approx x^2, logo
E_x =2\,k\,q\,\frac{x}{(x^2+a^2)^{3/2}} \approx 2\,k\,q\,\frac{x}{x^3} =2\,\frac{k\,q}{x^2}
na direção \hat\imath.

Resposta

(a) \displaystyle E_x=2\,k\,q\,\dfrac{x}{\bigl(x^2+a^2\bigr)^{3/2}}\;\hat\imath.
(b) x=\pm \dfrac{a}{\sqrt2}.
(c) \displaystyle E_{\max}=\frac{4}{3\sqrt3}\,\frac{k\,q}{a^2} na direção de \hat\imath (sinal de acordo com o lado).
(d) Para x\gg a, \displaystyle E_x\approx 2\,\dfrac{k\,q}{x^2}\,\hat\imath.

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