Equações D.O. exatas:
\operatorname{senh} x \cdot \cos y d x=\operatorname{cosh} x \cdot \operatorname{sen} y d y

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de ordem 1
\operatorname{sinh}(x)\cos(y)\,dx = \operatorname{cosh}(x)\sin(y)\,dy
que é do tipo M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy=0. O que precisamos fazer é reescrever no formato exato, checar a exatidão e, se for exata, encontrar uma função potencial \psi(x,y) cuja diferencial total seja nula.

Passo 2

Reescrevendo em forma padrão:
\operatorname{sinh}(x)\cos(y)\,dx - \operatorname{cosh}(x)\sin(y)\,dy = 0
aqui
M(x,y)=\operatorname{sinh}(x)\cos(y), \qquad N(x,y)=-\operatorname{cosh}(x)\sin(y).
Verificamos a condição de exatidão calculando
\frac{\partial M}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}\bigl[\operatorname{sinh}(x)\cos(y)\bigr] =-\operatorname{sinh}(x)\sin(y),
\frac{\partial N}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}\bigl[-\operatorname{cosh}(x)\sin(y)\bigr] =-\operatorname{sinh}(x)\sin(y).
Como \partial M/\partial y = \partial N/\partial x, a equação é exata.

Passo 3

Agora buscamos \psi(x,y) tal que
\frac{\partial \psi}{\partial x}=M(x,y)=\operatorname{sinh}(x)\cos(y).
Integramos em relação a x, tratando y como constante:
\psi(x,y) =\int \operatorname{sinh}(x)\cos(y)\,dx =\cos(y)\int \operatorname{sinh}(x)\,dx =\cos(y)\,\operatorname{cosh}(x)+h(y),
onde h(y) é uma “constante” de integração que pode depender só de y.

Passo 4

Para determinar h(y), impomos
\frac{\partial \psi}{\partial y} =-\sin(y)\operatorname{cosh}(x)+h'(y) \stackrel{!}{=}N(x,y)=-\operatorname{cosh}(x)\sin(y).
Isso dá h'(y)=0, logo h(y)=C (constante real).

Passo 5

Portanto a função potencial completa é
\psi(x,y)=\operatorname{cosh}(x)\cos(y)+C
e a solução geral da equação diferencial exata vem de
\psi(x,y)=\text{constante},
isto é

Resposta

\operatorname{cosh}(x)\,\cos(y)=K,
com K constante arbitrária.

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