Equações D.O. exatas:
e^{y} d x+\left(x e^{y}-2 y\right) d y=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
e^{y}\,dx + \bigl(x\,e^{y} - 2y\bigr)\,dy = 0
e pede sua solução geral. Isso é uma equação exata se existe uma função potencial U(x,y) tal que
\frac{\partial U}{\partial x} = M(x,y) \quad\text{e}\quad \frac{\partial U}{\partial y} = N(x,y),
onde M(x,y)=e^y e N(x,y)=x e^y-2y. Vamos verificar a exatidão e achar U.

Passo 2

Verificamos se a equação é exata calculando
\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(e^y\bigr) = e^y,
\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(x e^y - 2y\bigr) = e^y.
Como \partial M/\partial y = \partial N/\partial x, a equação é exata.

Passo 3

Buscamos U(x,y) integrando M em relação a x:
U(x,y) = \int M(x,y)\,dx = \int e^y\,dx = x\,e^y + h(y),
onde h(y) é uma “constante” de integração que pode depender só de y.

Passo 4

Para determinar h(y), usamos a condição \partial U/\partial y = N(x,y). Calculamos
\frac{\partial U}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(x e^y + h(y)\bigr) = x e^y + h'(y)
e impomos
x e^y + h'(y) = N(x,y) = x e^y - 2y.
Logo
h'(y) = -2y \quad\Longrightarrow\quad h(y) = -y^2 + C.
Substituindo em U, temos
U(x,y) = x e^y - y^2 + C.

Resposta

A solução geral, em forma implícita, é
x\,e^y - y^2 = C.

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