Calcule f+g, f-g, f g, fg, gf.
f(x)=raizx ; g(x)=x^2-1

Passo 1

O exercício pede para calcular as operações soma, diferença, produto e quocientes entre as funções
f(x)= raizx e g(x)= x^2-1. Vamos usar as definições de (f+g)(x), (f−g)(x), (f·g)(x), (f/g)(x) e (g/f)(x), lembrando dos domínios de cada função.

Passo 2

Para obter (f+g)(x) somamos f(x) e g(x):
(f+g)(x)=f(x)+g(x)=raizx+(x^2-1)=raizx+x^2-1
O domínio é a intersecção de [0,∞) (de f) com R (de g), ou seja [0,∞).

Passo 3

Para obter (f−g)(x) subtraímos g(x) de f(x):
(f-g)(x)=f(x)-g(x)=raizx-(x^2-1)=raizx-x^2+1
O domínio continua sendo [0,∞).

Passo 4

Para obter (f·g)(x) multiplicamos f(x) por g(x):
(fcdot g)(x)=raizx,(x^2-1)=x^2+tfrac12-x^tfrac12=x^5/2-x^1/2
O domínio é [0,∞).

Passo 5

Para obter (f/g)(x) dividimos f(x) por g(x):
fg(x)=raizxx^2-1
Aqui precisamos de x≥0 (para f) e x²−1≠0, ou seja x≠1. Logo o domínio é [0,∞){1}.

Passo 6

Para obter (g/f)(x) dividimos g(x) por f(x):
gf(x)=x^2-1raizx
Precisamos de x≥0 e √x≠0, ou seja x>0. Esse é o domínio.

Resposta

(f+g)(x)=\sqrt{x}+x^{2}-1
(f-g)(x)=\sqrt{x}-x^{2}+1
(f\cdot g)(x)=x{5/2}-x{1/2}
\frac{f}{g}(x)=\frac{\sqrt{x}}{x^{2}-1},\quad x\ge0,;x\neq1
\frac{g}{f}(x)=\frac{x^{2}-1}{\sqrt{x}},\quad x>0

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