Calcule f+g, f-g, f g, fg, gf.
f(x)=|x| ; g(x)=|x-3|

Passo 1

Resumo do problema e conteúdo: Temos as funções f e g definidas por f(x)=|x| e g(x)=|x-3|. A tarefa é calcular as operações f+g, f−g, f·g, f/g e g/f. Para isso, vamos usar o conceito de valor absoluto e escrever cada expressão em definição por partes.

Passo 2

Identificação dos pontos de quebra: As funções |x| e |x−3| mudam de expressão em x=0 e x=3. Logo, vamos dividir o domínio em três intervalos: x<0, 0≤x<3 e x≥3.

Passo 3

Expressão por partes de f e g: Em cada intervalo, escrevemos f e g sem valor absoluto:
f(x)=-x,&x<0x,&x>=0, g(x)=3-x,&x<3x-3,&x>=3

Passo 4

Cálculo de f+g em cada intervalo:
Para x<0: f+g=−x+(3−x)=3−2x.
Para 0≤x<3: f+g=x+(3−x)=3.
Para x≥3: f+g=x+(x−3)=2x−3.

Passo 5

Cálculo de f−g em cada intervalo:
Para x<0: f−g=−x−(3−x)=−3.
Para 0≤x<3: f−g=x−(3−x)=2x−3.
Para x≥3: f−g=x−(x−3)=3.

Passo 6

Cálculo de f·g em cada intervalo:
Para x<0: fg=(−x)(3−x)=x^2−3x·(−1?) Atenção: (−x)(3−x)=−3x+x^2.
Para 0≤x<3: fg=x(3−x)=3x−x^2.
Para x≥3: fg=x(x−3)=x^2−3x.

Passo 7

Cálculo de f/g, domínio e expressões:
O quociente f/g existe se g(x)≠0, ou seja x≠3.
Para x<0: f/g=(−x)/(3−x).
Para 0≤x<3: f/g=x/(3−x).
Para x>3: f/g=x/(x−3).

Passo 8

Cálculo de g/f, domínio e expressões:
O quociente g/f existe se f(x)≠0, ou seja x≠0.
Para x<0: g/f=(3−x)/(−x).
Para 0<x<3: g/f=(3−x)/x.
Para x≥3: g/f=(x−3)/x.

Resposta

As expressões finais são:
f+g:
f(x)+g(x)=3-2x,&x<03,&0<= x<32x-3,&x>=3
f−g:
f(x)-g(x)=-3,&x<02x-3,&0<= x<33,&x>=3
f·g:
f(x),g(x)=-3x+x^2,&x<03x - x^2,&0<= x<3x^2-3x,&x>=3
f/g (para x≠3):
f(x)g(x)=-x3-x,&x<0x3-x,&0<= x<3xx-3,&x>3
g/f (para x≠0):
g(x)f(x)=3-x-x,&x<03-xx,&0=3

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