Calcule
.
Passo 1
Resumo do problema e conteúdo: Temos as funções f e g definidas por f(x)=|x| e g(x)=|x-3|. A tarefa é calcular as operações f+g, f−g, f·g, f/g e g/f. Para isso, vamos usar o conceito de valor absoluto e escrever cada expressão em definição por partes.
Passo 2
Identificação dos pontos de quebra: As funções |x| e |x−3| mudam de expressão em x=0 e x=3. Logo, vamos dividir o domínio em três intervalos: x<0, 0≤x<3 e x≥3.
Passo 3
Expressão por partes de f e g: Em cada intervalo, escrevemos f e g sem valor absoluto:
Passo 4
Cálculo de f+g em cada intervalo:
Para x<0: f+g=−x+(3−x)=3−2x.
Para 0≤x<3: f+g=x+(3−x)=3.
Para x≥3: f+g=x+(x−3)=2x−3.
Para x<0: f+g=−x+(3−x)=3−2x.
Para 0≤x<3: f+g=x+(3−x)=3.
Para x≥3: f+g=x+(x−3)=2x−3.
Passo 5
Cálculo de f−g em cada intervalo:
Para x<0: f−g=−x−(3−x)=−3.
Para 0≤x<3: f−g=x−(3−x)=2x−3.
Para x≥3: f−g=x−(x−3)=3.
Para x<0: f−g=−x−(3−x)=−3.
Para 0≤x<3: f−g=x−(3−x)=2x−3.
Para x≥3: f−g=x−(x−3)=3.
Passo 6
Cálculo de f·g em cada intervalo:
Para x<0: fg=(−x)(3−x)=x^2−3x·(−1?) Atenção: (−x)(3−x)=−3x+x^2.
Para 0≤x<3: fg=x(3−x)=3x−x^2.
Para x≥3: fg=x(x−3)=x^2−3x.
Para x<0: fg=(−x)(3−x)=x^2−3x·(−1?) Atenção: (−x)(3−x)=−3x+x^2.
Para 0≤x<3: fg=x(3−x)=3x−x^2.
Para x≥3: fg=x(x−3)=x^2−3x.
Passo 7
Cálculo de f/g, domínio e expressões:
O quociente f/g existe se g(x)≠0, ou seja x≠3.
Para x<0: f/g=(−x)/(3−x).
Para 0≤x<3: f/g=x/(3−x).
Para x>3: f/g=x/(x−3).
O quociente f/g existe se g(x)≠0, ou seja x≠3.
Para x<0: f/g=(−x)/(3−x).
Para 0≤x<3: f/g=x/(3−x).
Para x>3: f/g=x/(x−3).
Passo 8
Cálculo de g/f, domínio e expressões:
O quociente g/f existe se f(x)≠0, ou seja x≠0.
Para x<0: g/f=(3−x)/(−x).
Para 0<x<3: g/f=(3−x)/x.
Para x≥3: g/f=(x−3)/x.
O quociente g/f existe se f(x)≠0, ou seja x≠0.
Para x<0: g/f=(3−x)/(−x).
Para 0<x<3: g/f=(3−x)/x.
Para x≥3: g/f=(x−3)/x.
Resposta
As expressões finais são:
f+g:
f−g:
f·g:
f/g (para x≠3):
g/f (para x≠0):