Calcule o fluxo de
através de
,isto é,
para
normal unitária exterior,
e
a superfície do sólido limitado pelos hemisférios
e pelo plano
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o fluxo do campo vetorial
através da superfície
. Isso envolve a matéria de Cálculo Vetorial, especificamente o Teorema da Divergência. Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar esse teorema e calcular a divergência do campo
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o fluxo. O fluxo de um campo vetorial
através de uma superfície
é dado pela integral dupla:
onde
é o vetor normal à superfície.
Passo 3
Agora, vamos pensar no Teorema da Divergência, que nos ajuda a transformar essa integral de superfície em uma integral de volume, facilitando os cálculos. O teorema diz que:
Onde
é o volume limitado pela superfície
.
Passo 4
Vamos calcular a divergência de
. A divergência
é dada por:
Para
:
Então:
Passo 5
Agora, precisamos definir o volume
. A superfície
é limitada pelos hemisférios
,
e pelo plano
. Isso descreve um “anel” esférico entre os raios 1 e 2 (já que
e
) no eixo
.
Passo 6
Vamos usar coordenadas cilíndricas para facilitar a integração, já que a simetria é circular. Nas coordenadas cilíndricas, temos:
E o elemento de volume:
Passo 7
Expressando
em coordenadas cilíndricas:
Então, a integral de volume fica:
Passo 8
Vamos determinar os limites de integração:
-
varia de a (completando a volta). -
varia de a para a parte inferior e de a para a parte superior. -
varia de ao hemisfério correspondente: - Para
, vai de a . - Para
, vai de a .
- Para
Passo 9
Vamos separar a integral em duas partes:
Passo 10
Integrando em
:
Então:
Passo 11
Integrando em
:
Então:
Passo 12
Estas integrais podem ser resolvidas por substituição. Por exemplo, para a primeira integral, deixe
, e para a segunda,
. Após resolver as integrais, somamos os resultados e multiplicamos por
.
Passo 13
Após calcular as integrais, obtemos o valor final do fluxo.
Resposta
O fluxo de
através de
é igual a
unidades.