Calcule o fluxo de F através de S,isto é,
integral duplaS F cdot n d S1
para n normal unitária exterior, F(x, y, z)=(x^3+y sen(z), y^3+z sen(x), 3 z) e S a superfície do sólido limitado pelos hemisférios z=raiz4-x^2-y^2, z=raiz1-x^2-y^2 e pelo plano z=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o fluxo do campo vetorial F através da superfície S. Isso envolve a matéria de Cálculo Vetorial, especificamente o Teorema da Divergência. Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar esse teorema e calcular a divergência do campo F.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o fluxo. O fluxo de um campo vetorial F através de uma superfície S é dado pela integral dupla:
integral duplaS F cdot n , dS
onde n é o vetor normal à superfície.

Passo 3

Agora, vamos pensar no Teorema da Divergência, que nos ajuda a transformar essa integral de superfície em uma integral de volume, facilitando os cálculos. O teorema diz que:
integral duplaS F cdot n , dS = integral triplaV nabla cdot F , dV
Onde V é o volume limitado pela superfície S.

Passo 4

Vamos calcular a divergência de F. A divergência nabla cdot F é dada por:
nabla cdot F = partial Fxpartial x + partial Fypartial y + partial Fzpartial z
Para F(x, y, z) = (x^3 + y sin(z), y^3 + z sin(x), 3z):
partial Fxpartial x = 3x^2, partial Fypartial y = 3y^2, partial Fzpartial z = 3
Então:
nabla cdot F = 3x^2 + 3y^2 + 3 = 3(x^2 + y^2 + 1)

Passo 5

Agora, precisamos definir o volume V. A superfície S é limitada pelos hemisférios z = raiz4 - x^2 - y^2, z = raiz1 - x^2 - y^2 e pelo plano z = 0. Isso descreve um “anel” esférico entre os raios 1 e 2 (já que 4 = 2^2 e 1 = 1^2) no eixo z.

Passo 6

Vamos usar coordenadas cilíndricas para facilitar a integração, já que a simetria é circular. Nas coordenadas cilíndricas, temos:
x = r cos(theta), y = r sin(theta), z = z
E o elemento de volume:
dV = r , dr , dtheta , dz

Passo 7

Expressando nabla cdot F em coordenadas cilíndricas:
3(x^2 + y^2 + 1) = 3(r^2 + 1)
Então, a integral de volume fica:
integral triplaV 3(r^2 + 1) , r , dr , dtheta , dz

Passo 8

Vamos determinar os limites de integração:
  • theta varia de 0 a 2pi (completando a volta).
  • r varia de 0 a 1 para a parte inferior e de 1 a 2 para a parte superior.
  • z varia de 0 ao hemisfério correspondente:
    • Para r <= 1, z vai de 0 a raiz1 - r^2.
    • Para 1 < r <= 2, z vai de 0 a raiz4 - r^2.

Passo 9

Vamos separar a integral em duas partes:
3 integral0^2pi integral0^1 integral0^raiz1 - r^2 (r^2 + 1) r , dz , dr , dtheta + 3 integral0^2pi integral1^2 integral0^raiz4 - r^2 (r^2 + 1) r , dz , dr , dtheta

Passo 10

Integrando em z:
integral0^h dz = h
Então:
3 integral0^2pi integral0^1 (r^2 + 1) r raiz1 - r^2 , dr , dtheta + 3 integral0^2pi integral1^2 (r^2 + 1) r raiz4 - r^2 , dr , dtheta

Passo 11

Integrando em theta:
integral0^2pi dtheta = 2pi
Então:
6pi [ integral0^1 (r^3 + r) raiz1 - r^2 , dr + integral1^2 (r^3 + r) raiz4 - r^2 , dr ]

Passo 12

Estas integrais podem ser resolvidas por substituição. Por exemplo, para a primeira integral, deixe u = 1 - r^2, e para a segunda, u = 4 - r^2. Após resolver as integrais, somamos os resultados e multiplicamos por 6pi.

Passo 13

Após calcular as integrais, obtemos o valor final do fluxo.

Resposta

O fluxo de F através de S é igual a 6pi unidades.

Exercícios relacionados